KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

376 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
smjer ê 3 , pa je njegov vektorski umnožak s ê 3 jednak nuli. Tako za moment vanjske sile konačno
dobivamo
⃗M = −l m g ê 3 × sin Θ ê 2 = ê 1 l m g sin Θ. (13.25)
U skladu s relacijom ˙ ⃗ L = ⃗ M, ovaj je moment sile upravo jednak vremenskoj promjeni momenta
količine gibanja (13.24). Izjednačavanjem ta dva izraza, uz I 1 = I 2 za osno simetrični zvrk,
dolazimo do Eulerovih jednadžba koje sada glase
I 1 ˙ω 1 + (I 3 − I 1 ) ω 2 ω 3 + I 3 ω 2 ˙Ψ = l m g sin Θ (13.26)
I 1 ˙ω 2 + (I 1 − I 3 ) ω 1 ω 3 − I 3 ω 1 ˙Ψ = 0,
I 3 ( ˙ω 3 + ¨Ψ ) = 0.
Sustav glavnih osa (ê 1 , ê 2 , ê 3 ) je orjentiran prema (x, y, z) sustavu tako što je u odnosu na
njega zakrenut za kutove Θ i Φ, ali ne i za Ψ (Ψ opisuje vrtnju zvrka u sustavu glavnih osa).
Zbog toga za komponente ω 1,2,3 možemo napisati izraze iz (13.22) u kojima je Ψ ≡ 0
ω 1 = ˙Θ , ω 2 = ˙Φ sin Θ, ω 3 = ˙Φ cos Θ. (13.27)
Uvrštavanjem ovih izraza u Eulerove jednadžbe, dobivamo
I 1 ¨Θ + (I3 − I 1 ) ˙Φ 2 sin Θ cos Θ + I 3 ˙Φ ˙Ψ sin Θ = l m g sin Θ
I 1 (¨Φ sin Θ + ˙Φ ˙Θ cos Θ) + (I 1 − I 3 ) ˙Θ ˙Φ cos Θ - I 3 ˙Θ ˙Ψ = 0
d
( )
(13.28)
I 3 ˙Φ cos Θ + ˙Ψ = 0
d t
Značenja kutnih brzina koje se pojavljuju u gornjim jednadžbama su:
- ˙Φ , precesija; vrtnja projekcije vektora ê 3 oko osi z, u ravnini (x, y),
- ˙Θ , nutacija; gibanje vektora ê 3 prema i od osi z,
- ˙Ψ , spin; vrtnja zvrka oko glavne osi ê 3 .
konstante gibanja:
Prva konstanta:
Primjetimo da iz treće od gornjih jednadžba možemo zaključiti
I 3
d
d t ( ˙Φ cos Θ + ˙Ψ ) = 0 ⇒ ˙Φ cos Θ + ˙Ψ = const. ≡ Ω . (13.29)
Ω je konstanta dimenzije kutne brzine. Uvrštavanjem ˙Ψ = Ω − ˙Φ
jednadžbe iz (13.28), dobivamo dvije vezane jednadžbe za Φ i Θ
cos Θ u preostale dvije
I 1 ( ¨Θ − ˙Φ 2 sin Θ cos Θ) + I 3 ˙Φ Ω sin Θ = l m g sin Θ (13.30)
I 1 (¨Φ sin Θ + 2 ˙Φ ˙Θ cos Θ) − I 3 Ω ˙Θ = 0.
Druga konstanta:
Budući da na zvrk djeluje samo (konzervativna) gravitacijska sila, energija je sačuvana. Da
bismo to dokazali, pomnožimo jednadžbe (13.26) redom sa ω 1 , ω 2 i (ω 3 + ˙Ψ ) i zatim ih zbrojimo.
Kao rezultat se dobije
I 1 (ω 1 ˙ω 1 + ω 2 ˙ω 2 ) + I 3 (ω 3 + ˙Ψ ) ( ˙ω 3 + ¨Ψ ) = m g l ω 1 sin Θ.