KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.7. DVODIMENZIJSKI HARMONIJSKI OSCILATOR 159
Ako je Φ x = Φ y + π/2, tada je putanja čestice elipsa, a kut zakreta Φ = 0
( ) 2 ( ) 2 x y
+ = 1,
A x A y
a titranje u smjeru osi x je za 1/4 perioda ispred titranja u smjeru osi y (slika 6.14.C).
Ako je Φ x = Φ y + 3π/2, tada je putanja čestice opet elipsa s kutom zakreta Φ = 0
( ) 2 ( ) 2 x y
+ = 1,
A x A y
a titranje u smjeru osi x za 1/4 perioda kasni u odnosu na titranje u smjeru osi y (slika 6.14.C).
Ako je još i A x = A y , elipsa degenerira u kružnicu.
Gornja je analiza primjenjiva na opis polarizacije elektromagnetskog vala. Električna
i magnetska komponenta vala titraju u ravnini okomitoj na smjer širenja vala i još su medusobno
okomite. Uzme li se za tu ravninu upravo ravnina (x, y), tada jednostavna promjena notacije
x → E i y → B, prevodi gornju analizu na opis linearno, kružno i eliptički polariziranog
elektromagnetskog vala. Kružna i eliptička polarizacija još mogu biti lijevo ili desno orjentirane,
ovisno o tome vrti li se vrh vektora električnog (pa time i magnetskog) polja u smjeru ili suprotno
smjeru kazaljke na satu.
♠
Ako je ω 0,x = 2 ω 0,y i razlika u fazama Φ x − Φ y = π , Lissajousova krivulja je parabola7
2
x(t)
A x
= cos(2 ω 0,y t − Φ y − π/2),
y(t)
A y
= cos(ω 0,y t − Φ y ).
Eliminacijom vremena iz gornjih parametarskih jednadžba, dolazi se do
( )
√
2
x ±
y
= − sin Φ y + 2 sin Φ y ± 2 y ( ) 2 y
sin 2 Φ y + (1 + sin 2 Φ y ) ,
A x A y A y A y
ili, jednostavnije, ako je početna faza Φ y = 0, tada je
( ) 2
x ± y
= ±2 .
A x A y
♠ Napomenimo samo još i to da u slučaju kada je ω 0,x = 1, a ω 0,y = n, gdje je n prirodan
broj, a razlika u fazama
Φ x − Φ y = N − 1 π
N 2 ,
Lissajousove krivulje su Čebiševljevi polinomi prve vrste i stupnja n.
7 Primjetimo da sada sila više nije centralna, tj. nije usmjerena prema ishodištu.