KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

186 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
po kugli unutar koje se nalazi i točka ⃗r = ⃗r ′ . Umjesto ⃗r, uvedimo novu varijablu ⃗ R = ⃗r − ⃗r ′ ,
tako da je d 3 r = d 3 R i −→ ∇ r = −→ ∇ R . Primjenom Gaussova teorema (2.21), prelazimo s integracije
po volumenu kugle, na integraciju po površini sfere
∫
d 3 R −→ ∇ R
⃗ R
R 3 = ∮
d ⃗ S ⃗ R
R 3 = ∮Ω
ˆR R 2 dΩ ˆR R
R 3 = 4π. (7.31)
Funkcija koje jednaka nuli kada je njezin argument različit od nule, a integral koje je jednak
jedinici kada područje integracije sadrži i točku koja poništava njezin argument, naziva se
Diracova 18 δ-funkcija . O definiciji i svojstvima δ-funkcije, vidjeti više u dodatku A i [3]. Iz
relacija (7.30) i (7.31) zaključujemo da je
Sada je
−→ ∇⃗g (⃗r) = −G
∫
−→ ∇ r
⃗r − ⃗r ′
|⃗r − ⃗r ′ | 3 = 4πδ(⃗r − ⃗r ′ ).
ρ m (⃗r ′ ) −→ ⃗r − ⃗r ′
∫
∇ r
|⃗r − ⃗r ′ | 3 d3 r ′ = −G
Time smo došli do jednadžbe za divergenciju gravitacijskog polja
ρ m (⃗r ′ )4πδ(⃗r − ⃗r ′ ) d 3 r ′ = −4πGρ m (⃗r).
−→ ∇⃗g (⃗r) = − 4 π G ρm (⃗r). (7.32)
Odgovarajuća elektrostatska jednadžba
−→ ∇ ⃗ E (⃗r) =
ρ q (⃗r)
ɛ 0
se naziva prva Maxwellova jednadžba. Gornju jednadžbu možemo napisati i u integralnom
obliku, koristeći Gaussov teorem
∫
d 3 r −→ ∫
∇⃗g = −4 π G d 3 r ρ m
∮
⃗g dS ⃗ = −4 π G m S , (7.33)
S
gdje m S označava masu sadržanu unutar zatvorene plohe S. Gornja jednadžba kaže da je tok
gravitacijskog polja kroz proizvoljnu zatvorenu plohu, srazmjeran količini mase sadržane unutar
plohe. Odgovarajući iskaz za električno polje se zove Gaussov zakon
∮
⃗E d ⃗ S = q S
ɛ 0
.
Gornji su izrazi jako pogodni račun gravitacijskog ili elektrostatskog polja, kada su masa ili
električni naboj na neki posebno jednostavan i simetričan način rasporedeni u prostoru. Ovu
tvrdnju ilustriramo slijedećim primjerom.
18 Paul Adrien Maurice Dirac, 1902 - 1984, engleski fizičar