KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

412 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNADŽBE
Lagrange-ove funkcije L(q s , ˙q s ; t)
d L(q s , ˙q s ; t) =
S∑
s=1
( ∂L
∂q s
dq s + ∂L
∂ ˙q s
d ˙q s
)
+ ∂L
∂ t dt.
U skladu s definicijom poopćene količine gibanja (14.17) i Lagrangeovom jednadžbom (14.16)
p s = ∂ L ( )
d ∂ L
,
− ∂ L = 0 ⇒ ∂ L = d p s
∂ ˙q s d t ∂ ˙q s ∂ q s ∂ q s d t = ṗ s,
diferencijal Lagrangeove funkcije postaje
d L(q s , ˙q s ; t) =
S∑
)
(ṗ s dq s + p s d ˙q s
s=1
+ ∂L
∂ t dt.
U gornjoj jednadžbi se diferencijal poopćene brzine, može izraziti kao
što vodi na
d
( S∑
s=1
p s ˙q s − L
p s d ˙q s = d(p s ˙q s ) − dp s ˙q s ,
dL =
)
=
S∑
]
[ṗ s dq s + d(p s ˙q s ) − dp s ˙q s
s=1
S∑
s=1
+ ∂L
∂ t dt
(−ṗ s dq s + ˙q s dp s ) − ∂L dt (15.1)
∂ t
Funkcija na lijevoj strani gornje jednadžbe se zove Hamiltonova funkcija ili hamiltonijan
H =
S∑
p s ˙q s − L(q s , ˙q s ; t),
s=1
a iz desne strane (15.1) se vidi da je hamiltonijan funkcija poopćenih koordinata, poopćenih
količina gibanja i vremena
H = H(q s , p s ; t),
a ne poopćenih koordinata, poopćenih brzina i vremena, kao što je to lagranžijan. Budući da
je općenito diferencijal funkcije poopćenih koordinata, poopćenih količina gibanja i vremena,
jednak
dH =
S∑
s=1
( ∂H
∂q s
dq s + ∂H
∂p s
dp s
)
+ ∂H
∂ t dt,
usporedbom gornjeg izraza sa (15.1), dolazi se do Hamiltonovih kanonskih jednadžba
gibanja
ṗ s = − ∂H
∂q s
,
˙q s = ∂H
∂p s
,
∂H
∂t = −∂L ∂t , (15.2)