KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

28 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
Razvije li se desna strana gornje jednakosti u Taylorov red oko točke (x, y, z), dobije se
∫
(
⃗V d S ⃗ = dx dy V z + dx ∂ V z
G+D
2 ∂ x + dy ∂ V z
2 ∂ y + dz ∂ V )
z
∂ z + · · · (
− dx dy V z + dx ∂ V z
2 ∂ x + dy )
∂ V z
2 ∂ y + · · ·
L+D
= dx dy dz ∂ V z
∂ z + O(d4 ),
gdje smo s O(d 4 ) označili umnoške četiri i više diferencijala dx, dy i dz. Slično se i za preostala
dva para ploha dobiva
∫
⃗V d S ⃗ = dx dy dz ∂ V ∫
x
∂ x + O(d4 ),
⃗V d S ⃗ = dx dy dz ∂ V y
∂ y + O(d4 ),
N+N
pa je ukupan tok polja kroz promatrani mali kvadar jednak
∮
(
V ⃗ d S ⃗ ∂ Vx
j = dx dy dz
∂ x + ∂ V y
∂ y + ∂ V )
z
+ O(d 4 ).
∂ z
S j
Umnožak dx dy dz prepoznajemo kao mali volumen ∆ v. Vratimo li se sada početnom omjeru
(2.19), možemo pisati
lim
∆ v j → 0
∮
S j
⃗ V d ⃗ S j
∆ v j
= lim
∆ v j → 0
1
dx dy dz
= ∂ V x
∂ x + ∂ V y
∂ y + ∂ V z
∂ z .
[
dx dy dz
( ∂ Vx
∂ x + ∂ V y
∂ y + ∂ V ) ]
z
+ O(d 4 )
∂ z
U granici kada se promatrani mali voluman steže u točku, gornji se izraz odnosi na točku u
prostoru i zove se divergencija vektorskog polja ⃗ V .
Iz gornjeg izraza se vidi i fizičko značenje divergencije: to je omjer toka polja kroz zatvorenu
plohu i volumena definiranog tom plohom u granici kada se ploha neizmjerno smanjuje -
koliko polja izvire ili ponire u toj točki prostora 7 . Upravo je izveden oblik divergencije u
pravokutnom koordinatnom sustavu,
div ⃗ V = ∂ V x
∂ x + ∂ V y
∂ y + ∂ V z
∂ z .
Divergenciju vektorskog polja možemo zapisati i pomoću operatora nabla (2.16),
div V ⃗ = −→ (
∇V ⃗ = ˆx ∂ ∂ x + ŷ ∂ ∂ y + ẑ ∂ )
(V xˆx + V y ŷ + V z ẑ )
∂ z
div ⃗ V = −→ ∇ ⃗ V = ∂ V x
∂ x + ∂ V y
∂ y + ∂ V z
∂ z . (2.20)
7 Tako npr. (statička) Maxwellova jednadžba −→ ∇ ⃗ E = ρ el /ɛ 0 , kaže da su su izvori i ponori električnog polja u električnim nabojima
koji se u gornjoj jednadžbi pojavljuju kroz gustoću električnog naboja ρ el