KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

12.2. MOMENT TROMOSTI 335
Slika 12.2: Ilustracija translacijskog gibanja krutog tijela: (A) pravocrtno translacijsko; (B) krivocrtno translacijsko
i (C) kružno translacijsko.
N djelića mase ∆ m j , dovoljno malih da je okomita udaljenost svakoga od njih, od osi AB
(slika 12.3.B), dobro definiran pojam. Tu ćemo udaljenost označiti s r j,⊥ . Moment tromosti
definiramo kao aditivnu veličinu, tako da se moment tromosti cijeloga tijela definira kao zbroj
momenata tromosti svih njegovih dijelova
I =
N∑
∆ m j rj,⊥. 2 (12.4)
j=1
U granici kada N postaje neograničeno velik (tj. dijelovi postaju sve manji)
I = lim
N→∞
N∑
∆ m j rj,⊥
2
j=1
→
∫
dm r 2 ⊥(m). (12.5)
Prijelazom s mase na gustoću mase, dm = ρ m (⃗r) d 3 r, (u trodimenzijskom prostoru) izraz za
moment tromosti postaje
∫
I =
r 2 ⊥ ρ m (⃗r) d 3 r. (12.6)
Integrira se po dijelu prostora u kojemu se nalazi kruto tijelo (tj. tamo gdje je gustoća različita
od nule). S r ⊥ je označena okomita udaljenost elementa volumena d 3 r od osi u odnosu na koju
se računa moment tromosti. Volumna masena gustoća krutog tijela je označena s ρ m (⃗r) i ima
ulogu funkcije raspodjele 1 , a moment tromosti se pojavljuje kao drugi moment te raspodjele.
Ako je jedna od dimenzija krutog tijela puno manja od preostale dvije, može se govoriti o
dvodimenzijskoj (plošnoj) raspodjeli mase gustoće σ m (⃗r), ili, ako je tijelo oblika tanke žice,
govorimo o linijskoj raspodjeli gustoće mase koju označavamo s λ m (⃗r). U ta dva slučaja,
1 Vidjeti npr. poglavlje Osnovni pojmovi statistike u [13]