KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

15.4. LIOUVILLEOV TEOREM 421
naziva reprezentativna točka. Vrijedi i obrat: svakoj reprezentativnoj točki faznog prostora,
odgovara jedno mehaničko stanje sustava. Gibanju sustava u realnom trodimenzijskom
prostoru, odgovara gibanje reprezentativne točke u 2S-dimenzijskom faznom protoru. Gibanja
se odvijaju u skladu s Hamiltonovim jednadžbama gibanja
ṗ s = − ∂H
∂q s
,
˙q s = ∂H
∂p s
,
a putanja reprezentativne točke se zove fazna putanja ili fazna trajektorija.
Promatrajmo vrlo velik broj N >> 1 konzervativnih mehaničkih sustava, koji su svi opisani
istim hamiltonijanom H, ali koji imaju različite početne uvjete. Budući da su sustavi po
pretpostavci konzervativni, H je konstanta gibanja jednaka ukupnoj mehaničkoj energiji sustava
H(q 1 , q 2 , · · · , q S , p 1 , p 2 , · · · , p S ) = E = const.
Gornja jednadžba predstavlja jednadžbu (2S − 1)-dimenzijske hiperplohe u 2S-dimenzijskom
faznom prostoru 1 . Pretpostavimo da energije svih N sustava leže izmedu neke dvije konstantne
vrijednosti koje ćemo označiti s E i E ′ . Tada će i fazne putanje svih sustava ležati u dijelu
faznog prostora omedenog s dvije hiperplohe čije jednadžbe glase H = E i H = E ′ (slika 15.1).
Budući da različiti sustavi imaju i različite početne uvjete, oni će se i gibati po različitim puta-
Slika 15.1: Shematski prikaz faznih putanja u faznom prostoru.
njama u faznom prostoru. Zamislimo da su u početnom trenutku t = 0, reprezentativne točke
svih N sustava sadržane u dijelu faznog prostora označenom s R 1 . Kako vrijeme prolazi, reprezentativne
točke se gibaju dijelom faznog prostra ograničenog hiperplohama H = E i H = E ′ i
nakon vremena t sve će se one naći u dijelu faznog prostora označenom s R 2 . Npr. reprezentativna
točka nekog odredenog sustava se premjestila iz točke A u točku B. Prema samom izboru
područja R 1 i R 2 , jasno je da oba sadrže isti broj, N, reprezentativnih točaka. Uvedimo sada
jedan nov pojam: gustoća reprezentativnih točaka. Gustoća reprezentativnih točaka
1 Slično kao što npr.
x 2 + y 2 + z 2 = R 2 = const.
, predstavlja jednadžbu 2D plohe - točnije: sfere - u 3D prostoru.