KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.5. PRISILNI TITRAJI HARMONIJSKOG OSCILATORA 139
Primjetimo zajedničku karakteristiku sva tri tipa gornjih rješenja (D 2 > 0, D 2 = 0 i D 2 < 0):
amplituda svih ovih rješenja eksponencijalno trne s vremenom, tj. nakon dovoljno dugo
vremena, njihova će amplituda postati proizvoljno mala. To je upravo učinak prigušenja. U
nastavku ovog odjeljka ćemo pokazati kako se zbog prigušenja smanjuje i energija oscilatora, a
u slijedećem odjeljku ćemo pokazati kako vanjska sila može nadoknaditi ovaj gubitak energije
i održati titranje oscilatora, unatoč gubicima energije kroz prigušenje.
Energija:
Pokažimo da sada, kada na česticu djeluje i sila prigušenja 4 , mehanička enegija čestice nije
sačuvana, nego s s vremenom smanjuje.
E meh = mẋ 2
dE meh
dt
2
+ Kx2
2
= m 2 2ẋ ẍ + K 2xẋ = ẋ (mẍ + Kx).
2
No, prema jednadžbi gibanja (6.20), izraz u okrugloj zagradi je upravo jednak −βẋ , pa je
vremenska promjena mehaničke energije (tj. snaga) jednaka
dE meh
dt
= −β ẋ 2 . (6.22)
Ako nema prigušenja (β ≡ 0), energija je sačuvana E meh (t) = const., kao što smo i dobili kod
izvoda (6.7). Budući da je β > 0, desna je strana negativna, što znači da se energija čestice
smanjuje s vremenom. Lako je vidjeti da je ovaj gubitak energije rezultat rada sile prigušenja
P prig = d W prig F
= ⃗ prig d⃗r
= F
d t d t
⃗ prig ⃗v = (−βẋ ) ẋ = −β ẋ 2 .
Jedno od osnovnih načela fizike kaže da se energija ne može ni povećati ni smanjiti. Iz toga
zaključujemo da ako se energija čestice oscilatora smanjila, neka se druga energija morala
povećati, tako da je njihov zbroj nepromjenjen. Čestica oscilatora se u svom gibaju sudara s
česticama sredstva u kojemu se odvija titranje i prenosi na njih dio svoje energije (pogledati
dio o sudarima). Time se povećava kinetička energija čestica sredstva. U statističkoj fizici se
srednja kinetička energija čestica povezuje s temperaturom, tako da viša energija odgovara višoj
temperaturi. Prema tome možemo reći da se mehanička energija čestice oscilatora postupno
pretvara u energiju toplinskog gibanja čestica sredstva u kojemu se nalazi oscilator.
Primjer: 6.2 tekst primjera
R: tekst rješenja
6.5 Prisilni titraji harmonijskog oscilatora
Pretpostavimo sada da na harmonijski oscilator, osim elastične sile i sile prigušenja, djeluje
još i periodična vanjska sila F ⃗ v (t) u smjeru osi x. Sila je periodična s periodom T , tako da je
⃗F v (t) = F ⃗ v (t + T ).
4 Prigušenje nije konzervativna sila, pa nema potencijalnu energiju.