KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

8.2. BRZINA I UBRZANJE U SUSTAVU KOJI SE VRTI 233
d ⃗ V
d t
= d V ⃗
∣ d t
in
+ ⃗ω × V
∣ ⃗ . (8.3)
nin
Gornji izraz povezuje vremensku promjenu proizvoljnog vektora u inercijskom i neinercijskom
sustavu i predstavlja središnji rezultat ovog odjeljka .
Što ako vektor V ⃗ nema hvatište na osi vrtnje (slika 8.2.C)? U tom slučaju postoje vektori B ⃗ i
⃗C sa hvatištem na osi vrtnje, takvi da je C ⃗ = V ⃗ + B ⃗ . U tom slučaju je
d ⃗ V
d t
pa vidimo da ista relacija vrijedi i za taj vektor.
= d ⃗ C
− d ⃗ B
∣ d t ∣ d t ∣
in in in
= d C ⃗ + ω × C
d t ∣ ⃗ − d ⃗ B
− ω × B
d t ∣ ⃗
nin nin
= d ( C ⃗ − B ⃗ )
∣ ∣ + ω × ( C
d t
⃗ − B ⃗ )
∣nin
= d V ⃗ + ω × V
d t ∣ ⃗ ,
nin
8.2 Brzina i ubrzanje u sustavu koji se vrti
Uzme li se za vektor V ⃗ upravo radij vektor, V ⃗ ≡ ⃗r, jednadžba (8.3) daje veze medu brzinama
mirujućeg i sustava koji se vrti
d ⃗r
d t ∣ = d ⃗r
in
d t ∣ + ⃗ω × ⃗r ⇐⇒ ⃗v in = ⃗v nin + ⃗ω × ⃗r.
nin
Ubrzanje u mirujućem sustavu se dobije tako da za V ⃗ u (8.3) uvrstimo ⃗v in
⃗a in = d d t∣ (⃗v nin + ⃗ω × ⃗r) + ⃗ω × (⃗v nin + ⃗ω × ⃗r)
nin
= ⃗a nin + d ⃗ω
∣ d t ∣ × ⃗r + ⃗ω × ⃗v nin + ⃗ω × ⃗v nin + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r).
nin
Time se dobila veza izmedu ubrzanja mirujućeg i sustava koji se vrti
⃗a in = ⃗a nin + d ⃗ω
d t ∣ × ⃗r + 2 ⃗ω × ⃗v nin + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r). (8.4)
nin
Prvi član na desnoj strani očito predstavlja ubrzanje onako kako ga vidi nepomični promatrač
u sustavu koji se vrti. Drugi, treći i četvrti član su rezultat vrtnje (svi su srazmjerni s ⃗ω )
i čine razliku ubrzanja koje vidi nepomični promatrač u nepomičnom sustavu u odnosu na
nepomičnog promatrača u sustavu koji se vrti. Drugi član desne strane potječe od vremenske
promjene brzine vrtnje i on je jednak nuli ako je brzina vrtnje konstantna. Treći se član,