KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

8.3.
OPĆENITO GIBANJE KOORDINATNIH SUSTAVA 239
Za općeniti vektor ⃗ V je
⃗Ω × V ⃗ = Ω (− sin λˆx + cos λẑ ) × (V xˆx + V y ŷ + V z ẑ )
= Ω (− sin λV y ẑ + sin λV z ŷ + cos λV x ŷ − cos λV y ˆx )
= −Ω cos λV y ˆx + Ω (sin λV z + cos λV x )ŷ − Ω sin λV y ẑ .
Primjenom gornjeg izraza na V ⃗ ≡ ⃗v 0 i V ⃗ ≡ F ⃗ , dolazi se do skalarnih komponenata rješenja
jednadžbe gibanja
x(t) = x 0 + v 0,x t + F x
2m t2 + t 2 Ω v 0,y cos λ + t3
3m Ω cos λF y + O(Ω 2 ), (8.10)
y(t) = y 0 + v 0,y t + F y
2m t2 − t 2 Ω (v 0,z sin λ + v 0,x cos λ) − t3
3m Ω (F z sin λ + F x cos λ) + O(Ω 2 ),
z(t) = z 0 + v 0,z t + F z
2m t2 + t 2 Ω v 0,y sin λ + t3
3m Ω F y sin λ + O(Ω 2 ).
Recimo još jednom, da su gornje jednadžbe izvedene uz pretpostavku da je sila konstantna.
8.3.2 Slobodan pad
Rješimo jednadžbe gibanja (8.10) iz prethodnog odjeljka na slučaju slobodnog pada u gravitacijskom
polju Zemlje u blizini njezine površine. U odjeljku 5.1 je pokazano da se gibanje čestice
koja slobodno pada u inercijskom sustavu, odvija po pravcu (bio je to pravac koji je ležao na
osi z). Početni uvjeti i vanjske sile kod slobodnog pada su zadani na slijedeći način
x 0 = y 0 = 0, z 0 = h,
v 0,x = v 0,y = v 0,z = 0,
F x = F y = 0, F z = −mg.
Uvrštavanjem gornjih vrijednosti u relacije (8.10), dobiva se
x(t) = O(Ω 2 ),
y(t) = t3 3 Ω g sin λ + O(Ω 2 )
z(t) = h − 1 2 gt2 + O(Ω 2 ).
I na sjevernoj (gdje je 0 ≤ λ ≤ π/2) i na južnoj polusferi (gdje je π/2 ≤ λ ≤ π) je sin λ > 0
pa, za razliku od slobodnog pada u inercijskom sustavu, dolazi do otklona na istok (slika
8.7) u odnosu na okomicu. U trenutku t 0 pada na zemljinu površinu, je z(t 0 ) = 0, pa je vrijeme
padanja t 0 = √ 2h/g, tako da je u trenutku pada na tlo, otklon na istok od okomice jednak
√
y(t 0 ) = 2 3 h Ω 2h
sin λ.
g
primjetimo da je otklon srazmjeran s Ω i da je najveći na ekvatoru, λ = π/2, gdje je sin λ = 1,
a otklona nema na polovima, λ = 0 ili λ = π.