KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

8.5.
OPĆENITA JEDNADŽBA GIBANJA ČESTICE U NEINERCIJSKOM SUSTAVU 249
8.5 Općenita jednadžba gibanja čestice u neinercijskom sustavu
Izvedimo sada općenitu jednadžbu gibanja čestice u neinercijskom sustavu bez pretpostavke
da je kutna brzina vrtnje ω konstantna u vremenu i bez pretpostavke da je kutna brzina vrtnje
mala po iznosu. Takoder ćemo dozvoliti da sila ⃗ F (koja djeluje i kada je ω = 0) može ovisiti o
vremenu. Jednadžba gibanja je
m¨⃗r = ⃗ F (t) − m ˙ ⃗ω × ⃗r − 2m⃗ω × ˙⃗r − m⃗ω × (⃗ω × ⃗r).
⃗ω = ωẐ = ω(−ˆx sin λ + ẑ cos λ),
⃗ω ˙ = ˙ω(−ˆx sin λ + ẑ cos λ).
⃗ω ˙ × ⃗r = ˙ω(−ˆx sin λ + ẑ cos λ) × (xˆx + yŷ + zẑ )
= −ˆx ˙ωy cos λ + ŷ ˙ω(x cos λ + z sin λ) − ẑ ˙ωy sin λ,
⃗ω × ˙⃗r = ω(−ˆx sin λ + ẑ cos λ) × (ẋˆx + ẏŷ + żẑ )
= −ˆx ωẏ cos λ + ŷ ω(ẋ cos λ + ż sin λ) − ẑ ωẏ sin λ,
⃗ω × (⃗ω × ⃗r) = ω(−ˆx sin λ + ẑ cos λ) × [−ˆx ωy cos λ + ŷ ω(x cos λ + z sin λ) − ẑ ωy sin λ]
= ω 2 [ˆx (−x cos 2 λ − z sin λ cos λ) + ŷ (y sin 2 λ − y cos 2 λ) + ẑ (−x sin λ cos λ − z sin 2 λ) ] .
Uvrštavanjem gornjih izraza u početnu vektorsku jednadžbu, dobivaju se tri skalarne jednadžbe
gibanja
mẍ = F x (t) + my ˙ω cos λ + 2mẏω cos λ + mω 2 (x cos 2 λ + z sin λ cos λ),
mÿ = F y (t) − m ˙ω(x cos λ + z sin λ) − 2mω(ẋ cos λ + ż sin λ) − mω 2 y(sin 2 λ − cos 2 λ),
m¨z = F z (t) + my ˙ω sin λ + 2mẏω sin λ + mω 2 (x sin λ cos λ + z sin 2 λ),
koje se dalje rješavaju ovisno o konkretnom obliku sile i kutne brzine kao funkcije vremena.