KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

112 POGLAVLJE 5. GIBANJE ČESTICE U POLJU KONSTANTNE SILE I SILA OVISNIH O BRZINI
Ako je x komponenta brzine sve vrijeme jednaka nuli, tada je položaj čestice po osi x nepromjenjen
i jednak položaju u trenutku t 0 = 0, tj.
x(t) = const. = x(0) = 0.
Istim postupkom se i za položaj po osi y dobije
Preostaje jednadžba za z komponentu
y(t) = 0.
¨z = −g − β mż .
Kao što je već spomenuto, tijekom padanja, z koordinata čestice smanjuje, tako da je dz < 0
dok je dt > 0, pa je ż = dz/dt < 0. Uvedimo novu varijablu Z = −g − βż /m. U varijabli Z,
jednadžba gibanja postaje
− m β
dZ
dt = Z.
Integracijom od početnog do trenutka t, se dobije
∫ Z(t)
Z(0)
dZ
Z = − β m
Vratimo li se u početne oznake
∫ t
0
ż (t) = − mg
β
dt ⇒ Z(t) = Z(0) e −β t/m .
( ) mg
+ β + v 0
e −β t/m . (5.16)
Primjetimo da se, u granici t → ∞, brzina približava konačnoj graničnoj vrijednosti
lim
t→∞
ż (t) = −mg
β .
Vremenskom derivacijom izraza za brzinu (5.16), dobiva se ubrzanje čestice u sredstvu s otporom
(
¨z = − g + β )
m v 0 e −β t/m , (5.17)
a integracijom (5.16), se dobiva položaj, tj. putanja z = z(t):
∫ t
( ) ∫
dz
m t
0 dt dt = −m β gt + β g + v −β t/m
0 dt e
0
z(t) = z 0 − mg
β t − m ( ) mg [
β β + v 0 e −β t/m − 1]
.
Granični slučaj slobodnog pada (bez otpora sredstva) dobiva se kada β u gornjem izrazu
iščezava. U tom slučaju može se razviti eksponencijana funkcija po malom argumentu βt/m i
dobiti
lim
β→0 z(t) = z 0 − m β gt − m β
= z 0 + v 0 t − 1 2 gt 2 ,
( m
β g + v 0) [
1 − β m t + 1 2
]
β 2
m t 2 + · · · − 1
2