KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.1. SLOBODNI HARMONIJSKI OSCILATOR 129
čestice. Prema (6.4), može se napisati
x(t) = x(t + T )
A cos(ω 0 t − Φ) = A cos
A cos(ω 0 t − Φ) = A
[
ω 0 (t + T ) − Φ
]
[
]
= A cos (ω 0 t − Φ) + ω 0 T
[
cos(ω 0 t − Φ) cos(ω 0 T ) − sin(ω 0 t − Φ) sin(ω 0 T )
Usporedbom lijeve i desne strane gornje jednadžbe, zaključujemo da mora biti
cos(ω 0 T ) = 1, sin(ω 0 T ) = 0, ⇒ ω 0 T = 2π · n,
gdje je n neki cijeli broj. Period je najkraće vrijeme koje zadovoljava gornji uvjet, pa zato
odabiremo n = 1,
T = 2π √ m
= 2π
ω 0 K .
Primjetimo da početni uvjeti odreduju amplitudu A i početnu fazu Φ, ali ne i na period titranja.
Period je odreden samo svojstvima sustava: konstantom vezanja K i masom čestice m.
Frekvencija:
Frekvencijom ν se naziva broj titraja u jednoj sekundi
ν = 1 T = ω 0
2π = 1
2π
√
K
m . (6.6)
]
konzervativnost:
Pokažimo da je elastična sila konzervativna, tako što ćemo pokazati da rad elastične sile ovisi
samo o početnoj i konačnoj točki putanje.
W x0 ,x =
∫ x
x 0
F el dx = −K
∫ x
x 0
x dx = − 1 2 K x2 + 1 2 K x2 0
U skladu s (4.19), iz izraza za rad očitavamo i potencijalnu energiju elastične sile
W x0 ,x = E p (x 0 ) − E p (x) = − 1 2 K x2 + 1 2 K x2 0,
iz čega se zaključuje da je potencijalna energija pridružena elastičnoj sili
E p (x) = 1 2 K x2 .
sačuvanje energije:
Izračunajmo mehaničku energiju harmonijskog oscilatora u proizvoljnom vremenskom trenutku
t
E meh (t) = E k (t) + E p (t) = 1 2 m ẋ 2 + 1 2 K x2
= m [
] 2 K
[
] 2 1
− ω 0 A sin(ω 0 t − Φ) + A cos(ω 0 t − Φ) =
2
2
2 K A2
= 1 ( )
2 K x 2 0 + v2 0
= 1 2 m v2 0 + 1 2 K x2 0
ω 2 0
= E k (0) + E p (0) = E meh (0).