KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

Dodatak A
Diracova δ-funkcija
Diracova funkcija δ(x − x 0 ) se može zamisliti kao granična vrijednost Gaussove funkcije raspodjele
δ(x − x 0 , σ) = 1 [
2 π σ exp − (x − x ]
0) 2
,
2 2 σ 2
kada širina gausijana iščezava, σ → 0, ali njegova visina neograničeno raste, tako da je integral
nepromjenjen
δ(x − x 0 ) = lim
σ → 0
δ(x − x 0 , σ),
∫ x2
x 1
δ(x − x 0 ) dx = 1, x 0 ∈ [x 1 , x 2 ].
Drugim rječima, δ(x − x 0 ) = 0 u svim točkama u kojima je argument različit od nule, a njezin
je integral jednak jedinici, ako područje integracije obuhvaća točku x 0
∫ x2
δ(x − x 0 ) = 0, x ≠ x 0 ,
x
∫ 1
x2
δ(x − x 0 )dx = 1, x 1 ≤ x 0 ≤ x 2 ,
x 1
δ(x − x 0 )dx = 0, x < x 1 ili x > x 2 .
Svojstva: promatramo učinke δ funkcije na kontinuiranu derivabilnu funkciju f(x). Granice u
integralima moraju biti takve da je točka u kojoj se poništava argument δ funkcije unutar granica
integracije. U suprotnom je integral jednak nuli. Kako bismo se osigurali da δ funkcija uvijek
ima nulu unutar granica integracije, uzet ćemo da se inetgrira po cijelom pravcu od −∞ do +∞.
(1) Budući da je δ(x − x 0 ) jednaka nuli svuda izvan x = x 0 , a različita od nule samo u uskom
intervalu oko x 0 , u tom uskom intervalu je f(x) približno konstantna i jednaka f(x 0 )
∫ +∞
f(x) δ(x − x 0 ) dx ≈ f(x 0 )
∫ +∞
−∞
−∞
δ(x − x 0 ) dx = f(x 0 )
(2) Pogledajmo sada δ funkciju s nešto složenijim argumentom. Započnimo s najjednostavnijim
431