KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

196 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
a gravitacijski kvadrupolni potencijal je
V (⃗r) kva = −G 1 r 3 1
2
3∑
λ j cos 2 Ψ j . (7.43)
j=1
Četvrti se član naziva oktupolni potencijal i opada kao 1/r 4 ,
V (⃗r) okt = 1 ∫
1 3
4πɛ 0 r 4 2
[ ]
5
r ′ 3 3 (ˆr · ˆr ′ ) 3 − (ˆr · ˆr ′ ) ρ q (⃗r ′ ) d 3 r ′ . (7.44)
Odgovarajuće gravitacijske potencijale dobivamo iz gornjih izraza zamjenama (7.14) i (7.15).
S obzirom da Zemlja nije savršena kugla i da njezina masena gustoća nije konstantna, rezultat
(7.17) dobiven za kuglu konstantne gustoće neće biti potpuno primjenjiv na Zemlju. Naravno
da će odstupanja biti mala, a ta mala odstupanja su upravo dana izrazima (7.40), (7.43) i
(7.44). Ukupan gravitacijski potencijal je dan sa (7.37), a to je potencijal homogene kugle plus
male korekcije od nehomogenosti i nesferičnosti. Više o gravitacijskom potencijalu Zemlje može
se naći u [28].
Primjer: 7.7 Pokažite da za sustav električnih naboja sa slike 7.6, vrijedi: V mon = V kva =
V okt = 0.
R: gustoća naboja koja se pojavljuje u izrazima za potencijale, je različita od
nule samo u dvije točke: z = ± l/2 i u tim točkama ima vrijednost ± q. Ovo
možemo zapisati pomoću Diracove δ-funkcije u npr. pravokutnom koordinatnom
sustavu
ρ q (⃗r ′ ) = + q δ(x ′ ) δ(y ′ ) δ(z ′ − l/2) − q δ(x ′ ) δ(y ′ ) δ(z ′ + l/2).
Monopolni potencijal gornje raspodjele naboja, računamo prema (7.38)
V (⃗r) mon =
=
−
=
1 1
4πɛ 0 r
1 q
4πɛ 0 r
∫ +∞
−∞
1 q
4πɛ 0 r
∫
ρ q (⃗r ′ )d 3 r ′
{ ∫ +∞
−∞
δ(x ′ ) δ(y ′ ) δ(z ′ − l/2) dx ′ dy ′ dz ′
δ(x ′ ) δ(y ′ ) δ(z ′ + l/2) dx ′ dy ′ dz ′ }
(1 − 1) = 0.