KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

74 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA
Prema samoj definiciji vektorskog umnoška, slijedi da je ˆB jediničnog iznosa i da je okomit
i na ˆT i na ˆN .
Ova tri vektora, ˆT , ˆN i ˆB , čine trobrid pratilac čestice.
Izrazimo ubrzanje čestice preko ovih vektora
⃗a = d⃗v
dt = d(v ˆT )
dt
= dv
dt ˆT + v
(
d ˆT
ds
= dv
dt ˆT + v d ˆT
) dt
ds
= dv
dt dt ˆT + v
= dv
dt ˆT + v2
R ˆN ≡ a T ˆT + aN ˆN .
( 1
R ˆN v)
Član a T = dv/dt uz ˆT se naziva tangencijalno, a član a N = v 2 /R uz ˆN normalno ubrzanje.
Koordinatni sustav trobrida pratioca se giba zajedno s česticom duž njezine putanje, i stoga
nije ni statički ni inercijski.
3.3 Frenet-Serretove formule
Frenet - Serret-ove 2 formule, opisuju način na koji se mijenjaju vektori ˆT , ˆN i ˆB duž putanje
čestice.
Pokažimo najprije da jedinični vektori ˆT , ˆN i ˆB čine desnu bazu trodimenzijskog prostora. Iz
(3.9) slijedi
ˆB × ˆT = ( ˆT × ˆN ) × ˆT ,
no, primjenom vektorskog identiteta (2.8) (⃗a × ⃗ b ) × ⃗c = ⃗ b (⃗c⃗a ) −⃗a ( ⃗ b⃗c ) na gornji izraz, dobiva
se
ˆB × ˆT = ˆN ( ˆT ˆT ) − ˆT ( ˆN ˆT ) = ˆN
zbog okomitosti ˆN i ˆT . Na sličan se način, pomoću gornje relacije, dobiva i
ˆN × ˆB = ( ˆB × ˆT ) × ˆB = ˆT ( ˆB ˆB ) − ˆB ( ˆT ˆB ) = ˆT ,
zbog okomitosti ˆT i ˆB . Time je pokazano da vrijedi
ˆT = ˆN × ˆB , ˆN = ˆB × ˆT , ˆB = ˆT × ˆN . (3.10)
Prva od Frenet-Serret-ovih formula je upravo definicija (3.8) vektora ˆN
d ˆT
ds = κ ˆN . (3.11)
2 Jean Frédéric Frenet, 1816 - 1900, i Joseph Alfred Serret, 1819 - 1885, francuski matematičari.