KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

88POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI GIBANJA, KONZERVATIVNOST, RAD, ENERGIJA, MOMENTI
najbržeg porasta funkcije. Odabir minusa znači da sila ima smjer najbržeg opadanja funkcije
potencijalne energije, tj. sila ima smjer prema lokalnom minimumu potencijalne energije. Na
primjeru gravitacijske sile (za koju će se kasnije pokazati da je takoder konzervativna) to znači
da voda sama od sebe teče niz brdo, a ne uz brdo kao što bi to bio slučaj kada u gornjoj
definiciji ne bi bilo minusa. Taj minus je dakle odabrala priroda, a ne fizičari.
Konzervativne sile imaju i to svojstvo da je njihova rotacije jednaka nuli (to su bezvrtložna
polja)
−→ ∇ × ⃗ F = 0. (4.12)
Najprije ćemo pokazati da za konzervativne sile vrijedi (4.10), a zatim ćemo pokazati da su
sva tri gornja iskaza: (4.10), (4.11) i (4.12), medusobno ekvivalentna.
(ako rad ne ovisi o obliku putanje) ⇒ ( ∮ F ⃗ d⃗r = 0)
Dokažimo relaciju (4.10): pretpostavimo da polje sile jeste konzervativno (da rad ne ovisi o
putu i pokažimo da je tada rad po zatvorenoj putanji jedank nuli. Na slici 4.3.A je prikazana
jedna zatvorena putanja P AKBP . Tu ćemo putanju rastaviti na dva dijela P AK i KBP (koje
zajedno čine cijelu zatvorenu putanju) i izračunati zbroj integrala po te dvije putanje
∮ ∫ ∫
∫ ∫
⃗F d⃗r = ⃗F d⃗r + ⃗F d⃗r = − ⃗F d⃗r + ⃗F d⃗r.
P AK
KBP
No, prema našoj pretpostavci, integrali ovise samo o početnoj i konačnoj točki, a one su iste
u gornja dva integrala, pa je zbog negativnog predznaka ispred prvog integrala, njihov zbroj
jednak nuli, tj.
∮
⃗F d⃗r = 0,
čime je dokazana polazna tvrdnja.
KAP
KBP
( ∮ ⃗ F d⃗r = 0) ⇒ ( rad ne ovisi o obliku putanje)
Slično se dokazuje i suprotan smjer tvrdnje: ako pretpostavimo da je integral po zatvoremoj
putanji jednak nuli, treba pokazati da integral po bilo kojoj putanji ovisi samo o početnoj i
konačnoj točki te putanje
∮
⃗F d⃗r = 0 =
∫
⇒
KAP
∫
⃗F d⃗r +
P AK
∫
⃗F d⃗r =
∫
KBP
KBP
⃗F d⃗r,
∫
⃗F d⃗r = −
KAP
⃗F d⃗r +
tj. integral od početne točke P do konačne točke K je isti bez obzira ide li putanja preko točke
A ili točke B, dakle ne ovisi o obliku putanje.
∫
KBP
⃗F d⃗r
( rad ne ovisi o obliku putanje) ⇒ ( ⃗ F = − −→ ∇E p )
Pretpostavimo da vrijedi (4.10), tj. rad ne ovisi o obliku putanje i pokažimo da tada vrijedi
(4.11). Početna točka je konstantna s koordinatama (x P , y P , z P ), a konačna je varijabilna s