KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.4. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE 395
za s = 1, 2, · · · , S. Jednadžba ima onoliko koliko i stupnjeva slobode, S. To su Lagrangeove
jednadžbe gibanja za holonomni sustav čestica. One vrijede i za skleronomne i reonomne
sustave, kao i za konzervativne i nekonzervativne sile. Veličina
p s = ∂ E k
∂ ˙q s
(14.15)
se zove poopćena količina gibanja konjugirana poopćenoj koordinati q s .
Ako su vanjske sile koje djeluju na sustav konzervativne, tada se one mogu izraziti preko
potencijalne energije E p , tako da vrijedi F ⃗ j = − −→ ∇ j E p (ovdje smo s −→ ∇ j označili operator nabla
koji djeluje na koordinate j-te čestice). U tom je slučaju poopćena sila jednaka
Φ s =
N∑
j=1
= −
N∑
j=1
⃗F j
∂⃗r j
∂q s
= −
( ∂ Ep
∂ x j
N∑
j=1
∂x j
∂q s
+ ∂ E p
∂ y j
(
ˆx ∂ E p
+ ŷ ∂ E p
+ ẑ ∂ E )
p ∂(ˆx xj + ŷ y j + ẑ z j )
∂ x j ∂ y j ∂ z j ∂q s
∂y j
∂q s
+ ∂ E p
∂ z j
)
∂z j
= − ∂ E p
∂q s ∂ q s
Uvrštavanjem ovog izraza za poopćenu silu u Lagrangeove jednadžbe, dobivamo
( )
d ∂ Ek
− ∂ E k
= − ∂ E p
d t ∂ ˙q s ∂ q s ∂ q
( )
s
d ∂ Ek
− ∂ (E k − E p ) = 0.
d t ∂ ˙q s ∂ q s
Ukoliko potencijalna energija ne ovisi o poopćenim brzinama ˙q s , a što je najčešće slučaj (npr.
za elastičnu je silu E p = k x 2 /2, za gravitacijsku silu je E p = K/r itd. 6 ), praktično je uvesti
Lagrangeovu funkciju ili lagranžijan, L, izrazom
L = E k − E p .
U terminima lagranžijana, Lagrangeove jednadžbe gibanja možemo napisati kao
( )
d ∂ L
− ∂ L = 0, (14.16)
d t ∂ ˙q s ∂ q s
za s = 1, 2, · · · , S. Ove jednadžbe vrijede za holonomne kozervativne sustave (pri čemu
uvjeti na gibanje mogu biti i skleronomni i reonomni). Za konzervativni sustav se poopćena
količina gibanja, p s , konjugirana s-toj poopćenoj koordinati, definira izrazom
p s = ∂ L
∂ ˙q s
. (14.17)
Ako na sustav djeluju i konzervativne i nekonzervativne sile (kao npr. trenje), Lagrangeove
jednadžbe gibanja se mogu napisati u obliku
( )
d ∂ L
− ∂ L = Φ nk
s ,
d t ∂ ˙q s ∂ q s
6 No, o jednoj važnoj iznimci će biti više riječi u odjeljku 14.6