KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

364 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
gdje je s I označena veličina
I = I xx cos 2 α + I yy cos 2 β + I zz cos 2 γ
+ 2 I xy cos α cos β + 2 I xz cos α cos γ + 2 I yz cos β cos γ.
Gornja veličina opisuje svojstva tromosti krutog tijela u odnosu na proizvoljan inercijski sustav
(x, y, z). Ona se može vizualizirati u obliku jednog elipsoida, na slijedeći način. Uvedimo vektor
⃗η relacijom
⃗η = ˆω √
I
= ˆx cos α √
I
+ ŷ cos β √
I
U terminima komponenata vektora ⃗η , izraz za I glasi
+ ẑ cos γ √
I
= ˆx η x + ŷ η y + ẑ η z .
1 = I xx η 2 x + I yy η 2 y + I zz η 2 z + 2 I xy η x η y + 2 I xz η x η z + 2 I yz η y η z . (13.9)
U koordinatnom sustavu (η x , η y , η z ), gornja jednadžba predstavlja elipsoid koji se zove elipsoid
tromosti i koji vizualizira osobine tromosti danog tijela u danom koordinatnom sustavu.
Ako se koordinatni sustav (x, y, z) zakrene tako da se poklopi sa sustavom glavnih osi, tada
α, β i γ označavaju kutove izmedu glavnih osi krutog tijela i osi vrtnje, a centrifugalni momenti
iščezavaju. U tom slučaju jednadžba elipsoida tromosti postaje
1 = I 1 η 2 1 + I 2 η 2 2 + I 3 η 2 3, (13.10)
gdje su
η 1 = cos(ˆω , ê 1)
√
I⃗ω
, η 2 = cos(ˆω , ê 2)
√
I⃗ω
, η 3 = cos(ˆω , ê 3)
√
I⃗ω
.
13.2 Eulerove jednadžbe gibanja
Promatrajmo kruto tijelo koje se vrti oko osi ˆω (t) i na koje djeluju vanjske sile. Učinak
vanjskih sila na vrtnju tijela opisujemo momentom vanjskih sila M. ⃗ Gibanje tijela ćemo promatrati
iz dva koordinatna sustava: jednog inercijskog (nepomičnog) i drugog koji je čvrsto
vezan za kruto tijelo i vrti se zajedno s njim (neinercijski). Za ovaj neinercijski sustav ćemo
odabrati upravo sustav glavnih osi (ê 1 , ê 2 , ê 3 ). U tom je sustavu ukupan moment količine
gibanja krutog tijela jednak
⃗L = I 1 ω 1 (t) ê 1 + I 2 ω 2 (t) ê 2 + I 3 ω 3 (t) ê 3 ,
gdje su ω j (t) komponente kutne brzine vrtnje u smjerovima glavnih osi. U neinercijskom sustavu
se samo kutna brzina mijenja s vremenom, dok su momenti tromosti I j i smjerovi vektora ê j
konstantni (jer se vektori ê j vrte zajedno s neinercijskim sustavom). Prema relaciji (8.3),
vremenske promjene vektora L ⃗ u inercijskom i neinercijskom sustavu su povezane relacijom
d ⃗ L
d t
= d ⃗ L
+ ⃗ω × L
∣ d t ∣ ⃗
in. nin.
= I 1 ˙ω 1 ê 1 + I 2 ˙ω 2 ê 2 + I 3 ˙ω 3 ê 3 + (ω 1 ê 1 + ω 2 ê 2 + ω 3 ê 3 ) × (I 1 ω 1 ê 1 + I 2 ω 2 ê 2 + I 3 ω 3 ê 3 )
[
] [
] [
= ê 1 I 1 ˙ω 1 + (I 3 − I 2 )ω 2 ω 3 + ê 2 I 2 ˙ω 2 + (I 1 − I 3 )ω 1 ω 3 + ê 3 I 3 ˙ω 3 + (I 2 − I 1 )ω 1 ω 2
].