KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.13. ŠTO BI BILO ... 223
Primjetimo da se u gornjoj jednakosti prostorna dimenziju D pojavljuje kao parametar. Riješimo
sada jednadžbu za gravitacijsko polje u prostoru gdje nema mase
−→ d f(r)
∇ ⃗g = 0 = r + D f(r)
d r
d f
= −D d r
f
r
f(r) = const. ⇒ ⃗g = ˆr const.
r D r . D−1
Kako bi gravitacijsko polje bilo usmjereno prema središtu Sunca (ishodištu koordinatnog sustava),
konstantu odabiremo tako da je const. = −K, pri čemu je K > 0
⃗g = −ˆr
K
r D−1 .
U trodimenzijskom svijetu, to je polje koje opada s kvadratom udaljenosti (7.4). Gravitacijska
sila kojom Sunce djeluje na Zemlju je ⃗ F G = m z ⃗g . Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da
Zemlja ima takvu ukupnu mehaničku energiju da joj je putanja kružnica (o ovisnosti oblika
putanje i ukupne mehaničke energije, vidjeti odjeljak 7.10). U tom je slučaju gravitacijska sila
uravnotežena centrifugalnom silom
⃗F G + ⃗ F cf = 0.
Izjednačavanjem iznosa ove dvije sile, dobije se brzina Zemlje
√
K
v = . (7.67)
rD−2 Pretpostavimo sada da osim Sunčeve gravitacije, na Zemlju djeluje i gravitacija nekog drugog
tijela čija je masa puno manja od Sunčeve, npr. neki planet ili asteroid. Utjecaj ovog drugog
tijela će malo promjeniti putanju Zemlje, tako da njezin položaj više neće biti ⃗r, nego ⃗r + δr ˆr ,
pri čemu je |δr| 0, Zemlja se udaljila od prvobitne
putanje, pa ukupna promjena sile δF ⃗ G + δF ⃗ cf mora vratiti Zemlju prema Suncu, tj. mora imati
smjer −ˆr . S druge strane, ako je δr < 0, Zemlja se približila Suncu, pa ukupna promjena
sile δF ⃗ G + δF ⃗ cf mora odmaknuti Zemlju od Sunca, tj. mora imati smjer +ˆr . Oba ova slučaja
možemo sažeti u relaciju
(δF ⃗ G + δF ⃗ cf ) · δr ˆr < 0. (7.68)
Izračunajmo promjenu gravitacijske sile uslijed promjene udaljenosti za δr:
⃗F G + δF ⃗ m z
G = −K
(r + δr) ˆr = −K m [
z
D−1 r ˆr 1 − (D − 1) δr ]
D−1 r + · · ·
= −K m z
r ˆr + K(D − 1)m z δr
D−1 r ˆr + · · ·
D
⇒ δF ⃗ G = K(D − 1) m z
δr ˆr . (7.69)
rD