KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

348 POGLAVLJE 12. RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA
ako su amplitude male). Primjetimo da je zbroj b + + b − = l, tj. jednak je duljini ekvivalentnog
matematičkog njihala. No, l = g(T/2π) 2 , a odatle slijedi
g =
( ) 2 2π
(b + + b − ),
T
pa se iz poznatih (izmjerenih) T i b ± može izračunati g. S druge strane, umnožak b + b − =
I SM /m, pa je
I SM = m b + b − .
Iz poznatih b ± možemo izračunati i moment tromosti i polumjer tromosti K 2 SM = I SM/m =
b + b − .
Vidjeli smo, relacijom (12.14), da period titranja ovisi o b, udaljenosti od objesišta do središta
mase. Sada se možemo zapitati kolika treba biti ta udaljenost, pa da period titraja bude
minimalan? Napisat ćemo period kao funkciju od b, a zatim ćemo minimalni period dobiti
kao uvjet ekstrema na funkciju T (b).
2T d T
d b
T 2 = 4π 2 I O
m g b = 4 π2
m g b (I SM + m b 2 ) (12.14)
T 2 = 4 π2
m g b (m K2 SM + m b 2 ) = 4 ( )/ π2 K
2
SM d
+ b
g b d b
= 4 ( )
π2
− K2 SM
+ 1 = 0.
g b 2
Iz gornje je relacije K SM = ±b, a budući da je polumjer giracije pozitivna veličina, odlučujemo
se za pozitivni predznak. Takoder je lako vidjeti da se radi o minimumu
d 2 T
d b = π ( K
2
√ SM
2 g b
Uvrstivši K SM = b, dobiva se
d 2 T
d b 2 ∣ ∣∣∣KSM
=b
) −3/2 ( 3 KSM
4 + b
2 b 4
= √ π 4
> 0,
g (2b)
3/2
+ 3 K2 SM
− 1 )
.
b 2 2
dakle, radi se o minimumu.
Primjetimo još, da ova tvrdnja vrijedi i ako titraji nisu malene amplitude. Naime, istim
postupkom kao i kod matematičkog njihala, relacija (6.58), dolazi se do izraza za period njihala
koje njiše proizvoljnom amplitudom
√
T =
I O
4
m b g
√
=
∫ π/2
0
I O
m b g f(ϕ 0).
dϕ
√
1 − k2 sin 2 ϕ , k2 = sin 2 ϕ 0
2
Gornji je izraz za period istog oblika kao i (12.14), pa ima i isti minimum.