KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

13.3. GIBANJE ZEMLJE 369
Vidimo da su za odredenje gibanja Zemlje, važna tri vektora: ê 3 , ⃗ω i ⃗ L . Njihove medusobne
odnose ćemo opisati pomoću dva stošca. To su:
prostorni stožac - vezan za sustav (ˆx , ŷ , ẑ ) i
stožac krutog tijela - vezan za sustav (ê 1 , ê 2 , ê 3 ).
Opišimo vrtnju Zemlje u u tim terminima. Označimo s α kut izmedu osi simetrije Zemlje ê 3
(glavne osi su osi simetrije tijela) i konstantnog vektora momenta količine gibanja ⃗ L .
⃗ω = ê 1 Ω ⊥ cos ω 0 t + ê 2 Ω ⊥ sin ω 0 t + ê 3 Ω 3 ,
⃗L = I 1 ω 1 ê 1 + I 1 ω 2 ê 2 + I 3 ω 3 ê 3 ,
= I 1 Ω ⊥ (ê 1 cos ω 0 t + ê 2 sin ω 0 t) + ê 3 I 3 Ω 3 ,
cos α = ê 3 · ⃗L
L = I 3 Ω
√ 3
I
2
1 Ω 2 ⊥ + .
I2 3 Ω 2 3
Označimo s β kut izmedu osi simetrije Zemlje ê 3 i vektora vrtnje ⃗ω
cos β = ê 3 · ⃗ω ω = Ω
√ 3
.
Ω
2
⊥
+ Ω 2 3
Uobičajenim trigonometrijskim manipulacijama, dolazi se do sinusa kutova α i β
sin α =
a zatim i do omjera njihovih tangensa
tan α = I 1 Ω ⊥
I 3 Ω 3
,
I 1 Ω
√ ⊥
I
2
1 Ω 2 ⊥ + , sin β =
I2 3 Ω 2 3
tan β = Ω ⊥
Ω 3
,
⇒
Ω
√ ⊥
,
Ω
2
⊥
+ Ω 2 3
tan α
tan β = I 1
I 3
.
Za Zemlju (ili bilo koji drugi sferoid spljošten na polovima) je I 1 < I 3 (zato jer je zbog spljoštenosti,
veličina r 2 ⊥ veća kada se računa I 3, nego kada se računa I 1 ).
I 1 < I 3 ⇒ tan α < tan β ⇒ α < β.
Nazovimo prostornim stošcem stožac čija je os simetrije konstantni vektor ⃗ L , os simetrije stošca
tijela neka je os ê 3 (slika 13.7). Vidimo da gibanje Zemlje možemo shvatiti kao kotrljanje (bez
klizanja) stošca tijela oko prostornog stošca (vektor ⃗ L je konstantan, pa se prostorni stožac ne
pomiče, nego se pomiče stožac tijela) tako da njihova dodirna linija ima smjer vektora vrtnje
⃗ω .
Navedimo još nekoliko opažanja vezanih za opis Zemljinog gibanja:
• Primjetimo da pravci definirani vektorima L ⃗ , ê 3 i ⃗ω leže u istoj ravnini. Ovu ćemo tvrdnju
dokazati tako što ćemo pokazati da je volumen paralelopipeda čije su stranice dane ovim
vektorima, jednak nuli. Volumen računamo preko mješovitog umnoška ta tri vektora, relacijom
(2.7), u bazi glavnih osi krutog tijela
⃗L · (ê 3 × ⃗ω ) =
∣
I 1 ω 1 I 1 ω 2 I 3 ω 3
0 0 1
ω 1 ω 2 ω 3
∣ ∣∣∣∣∣
= 0.
• Opažač u koordinatnom sustavu (O, x, y, z) će vidjeti da ⃗ω opisuje prostorni stožac, dok će
opažač u sustavu (O, ê 1 , ê 2 , ê 3 ) (a to smo svi mi koji živimo na Zemlji) vidjeti da ⃗ω opisuje
stožac tijela.
• Za Zemlju je I 1 < I 3 (spljoštena tijela) i zato je prostorni stožac unutar stošca krutog tijela.
Za tijela za koja je I 1 > I 3 (duguljasta tijela oblika cigare) je lako pokazati da je stožac tijela
unutar prostornog stošca (slika 13.8).