KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.10. OPIS GIBANJA NEBESKIH TIJELA POMOĆU GRAFA ENERGIJE 209
nalazila u točki ρ(t 0 ) = ρ 0 , do nekog općeg trenutka t kada se čestica nalazi u ρ
√ ∫ m ρ
d t =
t 0
2 ρ 0
√ m
t = t 0 +
2
∫ t
d ρ
√
E − Ep (ρ) − L 2 0/(2 m ρ 2 )
∫ ρ
ρ 0
d ρ
√
E − Ep (ρ) − L 2 0/(2 m ρ 2 )
t = t(t 0 , E, L 0 , ρ 0 ; ρ).
Pomoću gornjih izraza, može se doći i do relacije koja daje opisani kut kao funkciju koordinate
ρ. Krenimo od relacije (7.56), prema kojoj je
√ m d ρ
d t = √
2 E − Ep (ρ) − L 2 0/(2 m ρ 2 )
i d t izrazimo preko d ϕ koristeći izraz za konstantnost momenta količine gibanja L 0 d t =
d ϕ m ρ 2 . Tako dobivamo
∫ ϕ
d ϕ = L √
0 m
m ρ 2 2
ϕ 0
d ϕ =
∫ ρ
ρ 0
ϕ = ϕ 0 +
d ρ
√
E − Ep (ρ) − L 2 0/(2 m ρ 2 )
d ρ
ρ 2 √ 2 m (E − E p (ρ))/L 2 0 − 1/ρ 2
∫ ρ
ρ 0
ϕ = ϕ(ϕ 0 , E, ρ 0 , L 0 ; ρ).
d ρ
ρ 2 √ 2 m (E − E p (ρ))/L 2 0 − 1/ρ 2
Dobili smo ϕ kao funkciju konstanti i trenutnog položaja ρ.
7.10 Opis gibanja nebeskih tijela pomoću grafa energije
Nebeska se tijela gibaju pod utjecajem gravitacijske sile, a jedan zgodan način za razumijevanje
njihova gibanja je opis preko grafa energije. Vratimo se dakle gravitacijskoj sili, kao jednom
važnom primjeru centralnih sila.
Ono što se naziva graf energije, se dobije tako da se na ordinatu nanosi energija (ukupna,
kinetička, potencijalna), a na apscisu relativna udaljenost promatranog tijela i drugih tijela s
kojim ono medudjeluje.
Npr. promatrajmo gibanje nebeskog tijela mase m uslijed gravitacijskog djelovanja Sunca
mase M, pri čemu ćemo zanemariti gravitacijski utjecaj ostalih tijela na promatrano tijelo.
Takoder ćemo zanemariti i gravitacijski utjecaj promatranog tijela na Sunce (akcija i reakcija)
i pretpostaviti da Sunce miruje (tj. da je njegovo ubrzanje zanemarivo). Uz ove aproksimacije,
energija promatranog tijela (planeta, komete, asteroida) je
E = E k + E p = p2
2m − GmM ρ ,
gdje je ρ udaljenost izmedu središta mase tijela i Sunca, a ⃗p = m⃗v je količina gibanja središta
mase tijela. Rastavimo li količinu gibanja na komponentu ⃗p ⊥ okomitu na radij vektor i
komponentu ⃗p ‖ paralelnu s radij vektorom (slika 7.15), tada je