KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

190 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Slika 7.6: Električni dipol.
Ukupni, dipolni, potencijal je tada jednak
(
)
1 1
V dip (⃗r) = q
4πɛ 0 |⃗r − ẑ l/2| − 1
|⃗r + ẑ l/2|
[ (
1 q
=
1 − cos θ l 4πɛ 0 r
r + 1 )
l 2 −
1 (
2
− 1 + cos θ l 4 r 2 r + 1 4
U granici r >> l, na gornji se izraz može primjeniti Taylorov razvoj
za |x| < 1, pri čemu je
)
l 2 −
1
]
2
.
r 2
(1 + x) − 1 2 = 1 −
1
2 x + 1 · 3
2 · 4 x2 − 1 · 3 · 5
2 · 4 · 6 x3 + O(x 4 ), (7.35)
x ≡ ∓ cos θ l r + 1 4
Uvrštavanjem vrijednosti za x i sredivanjem dobivenog razvoja, za dipolni potencijal se dobije
V dip (⃗r) = 1 [ ( )]
q l l
3
4πɛ 0 r r cos θ + O .
r 3
Drugi član na desnoj strani gornjeg izraza označava zanemarene članove razvoja, koji su zbog
uvjeta r >> l manji od člana koji je zadržan. U nastavku, taj član više nećemo eksplicitno
navoditi. Definiramo li vektor dipolnog momenta (usmjerenog od negativnog prema pozitivnom
naboju) kao ⃗p = qlẑ , tada se dipolni potencijal može napisati u uobičajenom obliku
V dip (⃗r) = 1
4πɛ 0
⃗p · ˆr
r 2 . (7.36)
Primjetimo da, za razliku od potencijala jednog točkastog naboja, koji opada kao 1/r, potencijal
dipola opada brže, kao 1/r 2 . Iz poznatog potencijala, polje se računa kao ⃗ E dip = − −→ ∇V dip .
l 2
r 2 .