KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.4.
PRIGUŠENI HARMONIJSKI OSCILATOR 135
6.4 Prigušeni harmonijski oscilator
Na harmonijski oscilator koji titra u nekom sredstvu (zraku, tekućini) djelovat će i sila prigušenja
(otpora, trenja). Ova je sila rezultat medudjelovanja čestice koja titra i čestica sredstva
u kojemu se odvija titranje. Eksperimentalno je ustanovljeno da sila prigušenja ovisi o brzini
čestice (ili tijela) koja se giba kroz sredstvo i da ima smjer suprotan smjeru trenutne brzine.
Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da je sila prigušenja, ⃗ F prig , srazmjerna prvoj potenciji
brzine (prisjetiti se sličnog računa iz odjeljka 5.4). Za gibanje po osi x je
⃗F prig = −β ⃗v = −β v ˆx = −β dx ˆx , β > 0.
dt
Koeficijent prigušenja β je pozitivna konstanta koja opisuje oblik tijela i svojstva sredstva u
kojemu se odvija titranje 3 .
Uz elastičnu silu i silu prigušnja, jednadžba gibanja glasi
Postavimo i početne uvjete
mẍ = F el + F prig = −Kx − βẋ . (6.20)
x(0) = x 0 , ẋ (0) = v 0 .
Uvede li se konstanta γ = β/(2m), gornja jednadžba gibanja se može preglednija napisati kao
ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = 0. (6.21)
To je homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda, čija ćemo rješenja potražiti u
obliku eksponencijalne funkcije
x(t) = a e b t ,
za konstantne a i b. Uvrštavanje u jednadžbu vodi do
i dva rješenja za b
(b 2 + 2 γ b + ω 2 0) a e b t = 0.
b ± = −γ ±
√
γ 2 − ω 2 0.
Označimo izraz pod korjenom (diskriminantu) s D 2 = γ 2 − ω 2 0. Uz pretpostavku da je D 2 ≠ 0,
postoje dva rješenja za x, pa je opće rješenje njihova linearna kombinacija
x(t) = a + e b + t + a − e b − t .
Dvije konstante a ± se odreduju iz dva početna uvjeta: početni položaj i početna brzina.
(D 2 > 0) Ako je D 2 = γ 2 − ω 2 0 > 0, tada je u početnim oznakama β 2 > 4mK; to je granica
jakog prigušenja. Obje vrijednosti b ± = −γ ± √ γ 2 − ω 2 0 su realne i negativne, uz 0 > b + > b −
x(t) = a + e −|b +| t + a − e −|b −| t
( √
)
= e −γ t a + e t γ 2 −ω0 2 +
√γ a− e −t 2 −ω0
2 .
3 Takva je npr. sila viskoznosti koja djeluje na tijelo koje se giba kroz viskozni fluid. Ova sila ovisi o obliku tijela, a u slučaju
kugle polumjera r, ona je po svojem iznosu, dana sa F = 6πηrv, gdje je η koeficijent viskoznosti, a v brzina. Ovakva sile se zove
Stokesova sila.