KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

62 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
Gornja se relacija naziva uvjet ortogonalnosti i ekvivalentna je s jednadžbom (2.87), tj.
m i m j + n i n j + l i l j = δ i,j . Tako je npr.
j = 1, k = 1 :
3∑
i=1
a i 1 a i 1 = 1,
a 1 1 a 1 1 + a 2 1 a 2 1 + a 3 1 a 3 1 = 1,
m 2 1 + n 2 1 + l1 2 = 1.
j = 1, k = 2 :
3∑
i=1
a i 1 a i 2 = 0,
a 1 1 a 1 2 + a 2 1 a 2 2 + a 3 1 a 3 2 = 0,
m 1 m 2 + n 1 n 2 + l 1 l 2 = 0.
Svaka linearna transformacija (2.89) sa svojstvom (2.92) se zove ortogonalna transformacija.
Matrica A
⎡
⎤
a 1 1 a 1 2 a 1 3
A =
⎢ a 2 1 a 2 2 a 2 3
⎥
⎣
⎦ .
a 3 1 a 3 2 a 3 3
se zove ortogonalna matrica.
Primjetimo da se relacija ⃗ V ′ = A ⃗ V može shvatiti na dva načina:
- koordinatni sustav se zakreće od (O, x, y, z) prema (O, x ′ , y ′ , z ′ ), dok se sam vektor ⃗ V
ne mijenja; relacija ⃗ V ′ = A ⃗ V daje vezu medu komponentama istog vektora, ali promatranog
iz dva različita sustava - zakrenutog i nezakrenutog; ovakva se transformacija naziva pasivna
vrtnja i to je smisao koji ćemo koristiti u ovom odjeljku.
- druga je mogućnost da promatramo zakret vektora ⃗ V u fiksnom koordinatnom sustavu;
tada ⃗ V označava vektor prije, a ⃗ V ′ vektor poslije zakreta; u tom slučaju se govori o aktivnoj
vrtnji.
Primjer: 2.15 Pogledajmo jednostavan primjer u dvije dimenzije (slika 2.23). Matrica A je
oblika
⎡
A = ⎣ a ⎤
1 1 a 1 2
⎦ .
a 2 1 a 2 2
Treba postaviti i riješiti relacije ortogonalnosti.
R: U ovom primjeru postoje tri relacije ortogonalnosti (2.92)
a 2 1 1 + a 2 2 1 = 1,
a 2 1 2 + a 2 2 2 = 1, (2.93)
a 1 1 a 1 2 + a 2 1 a 2 2 = 0.