KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

92POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI GIBANJA, KONZERVATIVNOST, RAD, ENERGIJA, MOMENTI
Ovime je pokazano da rad ne ovisi o obliku putanje, nego samo o početnoj i konačnoj točki.
Ako je putanja zatvorena, P ≡ K i gornji je rad jednak nuli.
( ⃗ F = − −→ ∇E p ) ⇒ ( −→ ∇ × ⃗ F = 0)
Već je ranije, relacijom (2.52), pokazano da je rotacija gradijenta jednaka nuli, pa time odmah
iz pretpostavke da vrijedi (4.11) slijedi (4.12)
−→ ∇ × ⃗ F = −
−→ ∇ × (
−→ ∇Ep ) = 0.
( −→ ∇ × ⃗ F = 0) ⇒ ( ⃗ F = − −→ ∇E p )
Suprotan smjer: pretpostavimo da je −→ ∇ × ⃗ F = 0, što daje tri skalarne jednadžbe
∂ F z
∂ y = ∂ F y
∂ z ,
∂ F x
∂ z = ∂ F z
∂ x ,
∂ F y
∂ x = ∂ F x
∂ y . (4.20)
Očito će gornje jednadžbe biti zadovoljene, ako je svaka komponenta sile srazmjerna derivaciji
neke skalarne funkcije po toj istoj komponenti radij vektora,
F x = − ∂E p
∂x ,
Uz gornje veze, zadovoljene su relacije (4.20)
No, (4.21) je upravo (4.11).
∂ ∂E p
∂ y ∂z
∂ ∂E p
∂ z ∂x
∂ ∂E p
∂ x ∂y
F y = − ∂E p
∂y ,
= ∂ ∂E p
∂ z ∂y
= ∂ ∂E p
∂ x ∂z
= ∂ ∂E p
∂ y ∂x .
F z = − ∂E p
∂z . (4.21)
( −→ ∇ × ⃗ F = 0) ⇒ ( ∮ ⃗ F · d⃗r = 0) i (
∮ ⃗F · d⃗r = 0) ⇒ (
−→ ∇ × ⃗ F = 0)
Oba smjera proizlaze iz Stokesova teorema (odjeljak 2.4.4).
Primjer: 4.1 Nadite rad obavljen po dijelu jedinične kružnice od 0 do π u ravnini (x, y), protiv
sile dane sa
y
⃗F = −ˆx
x 2 + y + ŷ x
2 x 2 + y . 2
Uočite da obavljeni rad ovisi o putu. Čemu je jednaka rotacija ⃗ F ? Objasnite ovaj
rezultat.
R: