KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

138POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
otklon se može napisati u obliku
x(t) = A(t) cos(ωt − Φ),
A(t) = A 0 e −γ t
gdje se konstante A 0 i Φ odreduju iz početnih uvjeta na položaj i brzinu čestice. Rješenje je
prikazano na slici 6.6: to je kosinus čija amplituda, A(t) = A 0 e −γ t , nije konstantna u vremenu,
nego eksponencijalno opada. Ovaj oblik rješenja se naziva periodičkim. Period ovog prigušenog
Slika 6.6: Titranje uz D 2 = γ 2 − ω0 2 < 0. Otklon je x(t) = 10 e −0.3 t
pokazuje titranje bez trenja.
10
cos(2t − 4). Za usporedbu, zelena linija
5
x(t)
0
-5
-10
0 5 10 15 20
t
titranja
T = 2π ω =
2π
√
ω
2
0 − γ 2
je veći od perioda slobodnog (neprigušenog , γ ≡ 0) harmonijskog oscilatora.
Izračunajmo vrijednost otklona za dvije susjedne vrijednosti t (označene s t n i t n+1 ) za koje je
cos(ωt n − Φ) = 1 i cos(ωt n+1 − Φ) = 1
t = t n , → x = x n
t = t n+1 = t n + T, → x = x n+1
x n = A e −γ tn · 1
x n+1 = A e −γ t n+1 −γ (tn+T )
· 1 = A e
x n
x n+1
=
A e −γ t n
A e −γ tn e −γ T
= e γ T
Veličinu koja opisuje brzinu opadanja amplitude na logaritamskoj skali, zovemo logaritamski
dekrement i označavamo ju s δ
δ = ln x n
x n+1
= γT =
2πγ
√
ω
2
0 − γ 2 .