KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

13.1. TENZOR TROMOSTI 363
Slika 13.4: Valjak se vrti oko osi koja prolazi središtem baze i jednom točkom na spojnici suprotne baze i plašta.
ne momente tromosti valjka I j i kuteve koje os vrtnje zatvara a glavnim osima
valjka ê j . Zbog simetrije valjka, koordinatni sustav uvijek možemo postaviti tako
da os vrtnje leži u (ê 1 , ê 2 ) ravnini, pa je
I 1 = 1 ( ) R
2
2 m R2 , I 2 = I 3 = m
4 + H2
3
cos 2 H 2
(ˆω , ê 1 ) =
H 2 + R , R 2
2 cos2 (ˆω , ê 2 ) =
H 2 + R , 2 cos2 (ˆω , ê 3 ) = 0.
Uvrštavanjem gornjih vrijednosti u (13.8), dobiva se
I ⃗ω = 1
12 m R2 10 H2 + 3 R 2
H 2 + R 2 .
Kao što smo gornjim izrazom definirali moment tromosti u odnosu na sustav glavnih osi, slično
možemo definirati i moment tromosti I u odnosu na nepomični (inercijski) sustav (x, y, z).
Neka su α, β i γ kutovi koje osi x, y i z zatvaraju sa smjerom osi vrtnje ˆω . Tada je
⃗ω = ω ˆω = ω x ˆx + ω y ŷ + ω z ẑ / · ˆx
ω (ˆω ˆx ) = ω x
ω cos α = ω x
i slično za y i z komponentu, što sve zajedno daje
⃗ω = ω (ˆx cos α + ŷ cos β + ẑ cos γ).
Uvrsti li se ovaj izraz za kutnu brzinu u (13.5), za kinetičku energiju se dobije
E k,vrt = 1 2 I ω2 ,