KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.4. TITRANJE KRUŽNE MEMBRANE 331
Pogledajmo sada jednadžbu za R
ρ 2 ∂2 R
∂ ρ 2
+ ρ ∂ R
∂ ρ + (k2 ρ 2 − n 2 ) R = 0.
Prijedimo s varijable ρ na bezdimenzijsku varijablu α = ρ k
∂ R
∂ ρ = k ∂ R
∂ α ,
U varijabli α, jednadžba za R postaje
∂ 2 R
∂ α 2 + 1 α
∂ 2 R
∂ ρ 2
( )
∂ R
∂ α + 1 − n2
α 2
= k2 ∂2 R
∂ α 2 .
R = 0
Gornja je jednadžba poznata kao Besselova diferencijalna jednadžba, čija su rješenja
poznata i zovu se Besselove funkcije. One ovise o cijelom broju n (koji se naziva i red funkcije)
i označavaju se s I n
R(ρ) = I n (ρ k)
Kao posljedica rubnog uvjeta ψ(R, ϕ, t) = 0 = R(ρ = R), slijedi uvjet na k
I n (R k) = 0.
Konstanta k ne može biti proizvoljna, već se mora odabrati tako da R k bude nul-točka Besselove
funkcije. Besselove funkcije imaju besnonačno puno diskretnih realnih nul-točaka koje se mogu
označiti indeksom m = 1, 2, · · · . Dakle će konstanta k imati dva indeksa: n koji označava red
funkcije i m koji označava nul-točku za dani red
k → k n,m .
Time smo dobili rješenje za ψ koje ovisi o dva indeksa (uz redefiniciju konstanata)
ψ n,m (ρ, ϕ, t) = I n (ρ k n,m ) (a n,m cos nϕ + b n,m sin nϕ) (c n,m cos k n,m ct + d n,m sin k n,m ct).
Zbog linearnosti valne jednadžbe, opće je rješenje linearna kombinacija rješenja za sve moguće
n i m
∞∑ ∞∑
ψ(ρ, ϕ, t) = ψ n,m (ρ, ϕ, t)
=
n=0
∞∑
n=0
m=0
∞∑
m=0
Konstante a n,m , b n,m , c n,m i d n,m su proizvoljne.
I n (ρ k n,m ) (a n,m cos nϕ + b n,m sin nϕ) (c n,m cos k n,m ct + d n,m sin k n,m ct).