KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

408 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE
Rješavanjem gornje jednadžbe po y ′ , dolazi se do
d y
d x = a,
gdje je a nekakva konstanta. Rješenje gornje jednadžbe je očito linearna funkcija y = ax + b,
tj. pravac, kao što smo od početka i znali da treba biti. Nepoznate konstante a i b se odreduju
iz uvjeta da pravac prolazi točkama A = (x A , y A ) i B = (x B , y B ).
(2) Slijedeći problem koji ćemo izložiti je problem brahistokrone koji je prvi riješio Johann
Bernoulli, 1697. godine. Sama riječ potječe od grčkih riječi bráhistos što znači najkraći i
chrónos što znači vrijeme. Problem je slijedeći: čestica počinje padati iz točke A sa slike 14.5.B
u konstantnom gravitacijskom polju (bez trenja); pitanje je kako treba izgledati njezina putanja,
pa da stigne u točku B u najkraćem mogućem vremenu? Takva putanja, koja minimizira
vrijeme (a ne put, kao u prethodnom primjeru), se zove brahistokrona.
Postupak je uobičajen: putanja se podjeli na male dijelove duljine ds; vrijeme potrebno za
prolazak tim dijelom putanje je dt = ds/v; vrijeme potrebno za prolazak cijelom putanjom
je zbroj vremena za svaki mali dio; u granici kada ds postaje iščezavajuće malen, ovaj zbroj
prelazi u integral koji ćemo označiti s I
I =
∫ tB
t A
dt =
Kao i u prethodnom primjeru, ds = √ (dx) 2 + (dy) 2 . Budući da nema trenja, brzina se može
odrediti iz zakona o sačuvanju energije. Neka je potencijalna energija jednaka nuli kada je y = 0
i neka u t A čestica miruje, tada je ukupna mehanička energija u točki A jednaka nuli. Zbog
sačuvanja energije, ona će biti jednaka nuli i u svakoj drugoj točki putanje u kojoj je brzina v,
a vrijednost ordinate y
∫ tB
E A = E = 0 = m v 2
− mgy ⇒ v = √ 2gy.
2
Uvrštavaje brzine u izraz za I daje
∫ xB
√
1 + y
′ 2
I = dx √ . 2gy
x A
Iz gornjeg izraza očitavamo funkciju F iz (14.23)
√
F (y, y ′ ) = √ 1 1 + y ′ 2
. (14.26)
2g y
Prije nego što nastavimo s rješavanjem ovoga, izvedimo jedan postupak koji se zove nalaženje
prvog integrala Euler - Lagrangeove jednadžbe. Primjetimo da F ne ovisi eksplicitno o x,
nego sva ovisnost o x dolazi kroz y = y(x) i y ′ = y ′ (x). To nam omogućava da y ′ shvatimo kao
funkciju od y(x)
]
[
]
y ′ = y
[y(x)
′ , F = F y(x), y ′ (y(x)) .
Ova zamjena varijable, ima za posljedicu da se derivacija po x shvaća kao derivacija složene
funkcije
d
d x = d
d y
t A
d y
d x .
ds
v .