KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

Poglavlje 13
Prostorno gibanje krutog tijela
U prethodnom smo poglavlju promatrali posebno jednostavan slučaj gibanja krutog tijela kod
kojega se ono može translacijski gibati samo paralelno sa zadanom nepomičnom ravninom i
vrtjeti se samo oko osi okomite na tu ravninu. Brzina vrtnje se mogla mijenjati po iznosu, ali
ne i po smjeru. Smjer osi vrtnje je bio konstantan u vremenu.
U ovom ćemo poglavlju promatrati općenito gibanje krutog tijela u trodimenzijskom prostoru.
Takvo se gibanje sastoji od translacije jedne odredene točke (najćešće se za tu točku odabire
središte mase) i vrtnje oko osi kroz tu točku. No, sada niti iznos, a niti smjer osi vrtnje ne
moraju biti sve vrijeme konstantni, nego se mogu mijenjati s vremenom
⃗ω = ω(t) ˆω (t).
Zamislimo kruto tijelo koje se giba i zapitajmo se na koji ga način možemo zaustaviti? Ako
jednu točku (tri koordinate) krutog tijela učinimo nepomičnom, spriječit ćemo njegovo translacijsko
gibanje. No, tijelo se još može vrtjeti oko bilo koje osi koja prolazi tom točkom. Os
vrtnje možemo fiksirati dvama kutovima (npr. kutovima θ i ϕ sfernog koordinatnog sustava).
Sada se tijelo još može samo vrtjeti oko fiksne osi. Ako fiksiramo i kut ψ koji opisuje zakret
oko osi, u cjelosti smo zaustavili gibanje tijela. Vidimo da smo trebali fiksirati šest veličina,
ili kako se to drukčije kaže, kruto tijelo ima šest stupnjeva slobode. Prva tri stupnja slobode su
translacijski stupnjevi slobode i obično opisuju položaj središta mase, a slijedeća tri (Eulerovi
kutovi) su rotacijski stupnjevi slobode i opisuju vrtnju oko odabrane točke. Ako na gibanje
krutog tijela postoje i neki dodatni uvjeti, oni mogu samo smanjiti broj stupnjeva slobode.
13.1 Tenzor tromosti
Budući da se opće gibanje krutog tijela može opisati u terminima translacije odabrane točke
i vrtnje oko te točke, započet ćemo s proučavanjem čiste vrtnje krutog tijela, a kasnije ćemo
dodati učinke translacijskog gibanja.
Promotrimo dakle kako se može gibati kruto tijelo čija je (samo) jedna točka nepomična.
Označimo tu nepomičnu točku s O i neka se u danom trenutku t tijelo vrti kutnom brzinom
⃗ω (t) oko trenutne osi kroz točku O (slika 13.1). Neka se u j-toj točki tijela na mjestu ⃗r j nalazi
j-ta čestica tijela, koja se giba brzinom ⃗v j . Iz poglavlja 8 o neinercijskim sustavima, znamo da
je veza medu brzinama u inercijskom i neinercijskom sustavu oblika ⃗v in = ⃗v nin + ⃗ω × ⃗r. Čestica
j miruje u neinercijskom sustavu (čvrsto vezanom za tijelo koje se vrti), pa je zato ⃗v nin ≡ 0 i
⃗v j = ⃗ω × ⃗r j .
355