KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.5.
CILINDRIČNI KOORDINATNI SUSTAV 41
Primjer: 2.13 Pokažite da vrijede slijedeće relacije:
−→ −→ −→ ∇ × (ϕ ⃗a ) = ϕ ∇ × ⃗a + ( ∇ϕ) × ⃗a (2.54)
−→ ∇(⃗a × ⃗ b ) = ⃗
−→ −→ b ( ∇ × ⃗a ) − ⃗a ( ∇ × ⃗ b ). (2.55)
−→ ∇ × (a ⃗
−→ b ) = a( ∇ × ⃗
−→ b ) + ( ∇ a) × ⃗ b . (2.56)
R:
Primjer: 2.14 Poznat je električni potencijal izmedu dvije beskonačne paralelne vodljive ploče
koje su okomite na os x
V (x) = A x 4/3 + B x + C,
A, B, C = const.
Odredite raspodjelu naboja koja stvara takav potencijal.
R: Iz elektrostatike je poznata veza izmedu potencijala i gustoće električnog naboja
u obliku Possonove jednadžbe
∇ 2 V (⃗r) = − ρ el(⃗r)
ɛ 0
.
Raspisana u pravokutnom koordinatnom sustavu, gornja jednadžba vodi na
− ρ el
= ∂2 V
ɛ 0 ∂ x + ∂2 V
2 ∂ y 2
= A 4 1
3 3 x−2/3
ρ el (x) = −A ɛ 0
4
9
1
x 2/3 .
+ ∂2 V
∂ z 2
2.5 Cilindrični koordinatni sustav
Kao što smo spomenuli na početku ovog odjeljka, pored pravokutnog koordinatnog sustava
postoje i drugi koordinatni sustavi. Odabir odredenog sustava ovisi o simetriji problema koji
se rješava. U situacijama kada je razmatrani problem simetričan na zakret oko nepomične
osi, koristi se cilindrični koordinatni sustav. Položaj točke u prostoru se, unutar cilindričnog
koordinatnog sustava, opisuje koordinatama: ρ, ϕ i z, gdje je z jedna od koordinata pravokutnog
koordinatnog sustava. Koordinata ρ ima vrijednost okomite udaljenosti promatrane točke od
osi z. Koordinata ϕ je kut koji dužina ρ zatvara s pozitivnim smjerom osi x. Svakoj točki
prostora je jednoznačno pridružena trojka brojeva (ρ, ϕ, z), pri čemu ρ, ϕ i z mogu poprimati
vrijednosti iz slijedećih intervala
ρ ∈ (0, ∞), ϕ ∈ (0, 2π), z ∈ (−∞, +∞).