KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

188 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Primjer: 7.5 Polazeći od relacije (7.28) pokažite da se gravitacijsko polje može prikazati kao
gradijent jedne skalarne funkcije i odredite tu skalarnu funkciju.
R: Primjetimo da je
(
−→ 1
∇r = ˆx ∂
|⃗r − ⃗r ′ | ∂ x + ŷ ∂
∂ y + ẑ ∂ ) [(x
− x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2] −1/2
∂ z
= ˆx
−2(x − x ′ )
2 [(x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 ] 3/2
+ ŷ
−2(y − y ′ )
2 [(x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 ] 3/2
+
−2(z − z ′ )
ẑ
2 [(x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 ] 3/2
′
⃗r − ⃗r
= −
|⃗r − ⃗r ′ | 3
Pomoću gornjeg izraza, možemo gravitacijsko polje napisati kao
∫ (
⃗g (⃗r) = −G ρ m (⃗r ′ ) − −→ )
1
∇ r d 3 r ′ = − −→ ∫
∇
|⃗r − ⃗r ′ r
(−G
|
gdje je
= − −→ ∇V (⃗r),
V (⃗r) = −G
∫
ρm (⃗r ′ )
|⃗r − ⃗r ′ | d3 r ′ .
)
ρ m (⃗r ′ 1
)
|⃗r − ⃗r ′ | d3 r ′
Primjer: 7.6 Od ranije, relacije (7.23) i (7.24), nam je poznato gravitacijsko polje kugle jednolike
masene gustoće ρ 0 i ukupne mase m, sa središtem u ishodištu koordinatnog
sustava. Uvjerimo se da to polje zadovoljava relaciju (7.32).
R: Znamo da je za r ≤ R
a za r ≥ R je
⃗g IN = − 4πGρ 0
⃗r = − 4πGρ 0
(xˆx + yŷ + zẑ ),
3
3
⃗g OUT = −G m ⃗r r 3 = −G m
xˆx + yŷ + zẑ
(x 2 + y 2 + z 2 ) , 3/2
gdje je ρ 0 = 3m/(4R 3 π), konstantna masena gustoća kugle. Unutar kugle je gustoća
ρ = ρ 0 , dok izvan kugle nema mase pa je tamo ρ = 0. Prema jednadžbi (7.32), treba
dobiti
−→ ∇⃗g IN = −4πGρ 0
−→ ∇⃗g OUT = 0.