KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

5.1. GIBANJE U POLJU KONSTANTNE SILE: SLOBODAN PAD 105
Gibanje tijela u smjeru prema tlu, pod djelovanjem sile teže (i nijedne druge sile) u blizini
Zemljine površine, naziva se slobodan pad. Neka se čestica mase m u trenutku t 0 nalazi u točki
i neka ima brzinu
⃗r 0 = (0, 0, z 0 )
⃗v 0 = (0, 0, v 0 )
(v 0 > 0 ako se čestica giba prema gore, a v 0 < 0, ako se čestica giba prema dolje). Jednadžba
gibanja (4.4) glasi
d 2 ⃗r
= −gẑ . (5.8)
dt
2
Ova je jednadžba istog oblika kao i (5.1), s tom razlikom da su sada sila i početni uvjeti drukčiji.
Uzme li se to u obzir, možemo iskoristiti rješenja (5.5)
x(t) = 0, v x (t) = 0, a x (t) = 0,
y(t) = 0, v y (t) = 0, a y (t) = 0, (5.9)
z(t) = z 0 + v 0 (t − t 0 ) − 1 2 g(t − t 0) 2 , v z (t) = v 0 − g(t − t 0 ), a z (t) = −g.
Iako jednostavno, gornje rješenje sadrži jednu važnu informaciju: u njemu se ne pojavljuje
masa tijela koje pada, ili drugim rječima, tijela različitih masa, padaju na isti način. Ovo
je dakako istina samo dotle dok možemo zanemariti otpor zraka (kao što je i napravljeno u
gornjem računu). Ako uzmemo u obzir i otpor zraka (odjeljak 5.4), vidjet ćemo da gibanje
tijela ovisi i o masi i o obliku tijela. Prigodom jednog od spuštanja američkih astronauta na
površinu Mjeseca, izveden je jedan jednostavan pokus: čekić i ptičje pero pušteni su padati s
približno iste visine prema površini Mjeseca. Budući da Mjesec gotovo i nema atmosferu, nije
bilo ni otpora sile trenja i oba tijela, čekić i pero, su pali na površinu Mjeseca u približno istom
trenutku, u skladu s gornjim jednadžbama.
Primjenom rezultata (5.7) za potencijalnu energiju konstantne sile na ovaj posebni primjer
gravitacijske sile, dobije se gravitacijska potencijalna energija čestice mase m u obliku
E p = mgz. (5.10)
Primjetimo da se ovako napisana gravitacijska potencijalna energija može shvatiti i kao rad sile
teže (mg) pri pomaku čestice od površine z = 0 do točke z, bez obzira na vrijednosti x i y
koordinata. Sada z označava položaj čestice iznad Zemljine površine, tj. njezinu visinu h, pa
se gravitacijska potencijalna energija često piše i kao E p = mgh.
Budući da je gravitacijska sila konzervativna, mora biti zbroj kinetičke i potencijalne energije
čestice, koja se giba u njezinom polju, konstantan u vremenu i prostoru. Pokažimo da je
E meh (⃗r, t) = E meh (⃗r 0 , t 0 ) = const.,
tj. da je zbroj kinetičke i potencijalne energije u svakom trenutku jednak zbroju kinetičke i
potencijalne energije u početnom trenutku. Uvrstimo izraze za kinetičku i potencijalnu energiju