KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

396 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE
gdje smo s Φ nk
s označili nekozervativnu poopćenu silu, dok su konzervativne sile izražene kroz
potencijalnu energiju koja se nalazi u lagranžijanu L.
Primjer: 14.7 Čestica mase m se giba u polju konzervativna sile opisane potencijalnom energijom
E p (x, y, z). Nema uvjeta na gibanje. Napišite Lagrangeove jednadžbe gibanja.
R: Budući da nema uvjeta na gibanje, čestica ima tri stupnja slobode S = 3, a za
tri poopćene koordinate mogu se jednostavno uzeti pravokutne koordinate čestice
Lagrangeova funkcija je
q 1 = x, q 2 = y, q 3 = z.
L = E k − E p = 1 2 m v 2 − E p = m 2 (ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 ) − E p (x, y, z).
Derivacije L po x i ẋ (i slično za y i z) daju
∂ L
∂ ẋ = m ẋ ,
∂ L
∂ x = −∂ E p
∂ x .
Uvrštavanjem gornjih derivacija u Lagrangeove jednadžbe (14.16 ), dobiva se
m ẍ = − ∂ E p
∂ x ,
m ÿ = −∂ E p
∂ y ,
m ¨z = −∂ E p
∂ z .
Prepoznamo li −∂ E p /∂ x kao x komponentu sile, F x (i slično za ostale parcijalne
derivacije), vidimo da su gornje Lagrangeove jednadžbe slobodne čestice zapravo
Newtonove jednadžbe gibanja
m ẍ = F x , m ÿ = F y , m ¨z = F z .
Neholonomni sustavi:
Pretpostavimo sada da osim M h holonomnih, postoji još i M nh neholonomnih uvjeta na gibanje
i vratimo se jednadžbi (14.13). Prisjetimo se da, zbog postojanja M nh neholonomnih uvjeta na
gibanje, sada nisu sve varijacije δq s medusobno neovisne.
Ako se u neholonomnim uvjetima (14.5), koordinate η j zamjene poopćenim koordinatama q s ,
dobiva se
3N−M
∑ h
s=1
A s,m ˙q s + B m = 0, m = 1, 2, · · · , M nh (14.18)
gdje su A s,m = A s,m (q s ; t) i B m = B m (q s ; t). Pomnože li se gornje jednadžbe s dt
3N−M
∑ h
s=1
A s,m dq s + B m dt = 0,
m = 1, 2, · · · , M nh
i prijede li se sa pravih pomaka dq s , dt na zamišljene δq s , δt (za koje je δt = 0), gornje jednadžbe
postaju
3N−M
∑ h
s=1
A s,m δq s = 0, m = 1, 2, · · · , M nh .