KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.4. TITRANJE KRUŽNE MEMBRANE 329
čvorne linije: mjesta na membrani koja stalno miruju. To su pravci paralelni s x i y osi,
koji su rješenja jednadžba
sin nπx
nπx
= 0 ⇒ = p π, p = 0, 1, 2, · · · ,
L x L x
sin mπy
L y
= 0 ⇒
iz čega slijede jednadžbe pravaca
x = L x
p
n ,
mπy
L y
= r π, r = 0, 1, 2, · · · ,
y = L y
Slično se dobiju i jednadžbe pravaca na kojima leže trbusi dvodimenzijskog stojnog vala
sin nπx
nπx
= ± 1 ⇒ = (2 p + 1) π , p = 0, 1, 2, · · · ,
L x L x 2
sin mπy
mπy
= ± 1 ⇒
= (2 r + 1) π , r = 0, 1, 2, · · · ,
L y L y 2
x = L x 2 p + 1
, y = L y 2 r + 1
.
2 n
2 n
r
m .
Nakon ovih primjera titranja u jednoj i dvije dimenzije, vjerujemo da čitatelju neće biti teško
gornje račune poopći na titanje trodimenzijskog elastičnog kontinuuma s pravokutnom geometrijom.
11.4 Titranje kružne membrane
U prethodnom smo odjeljku došli do valne jednadžbe koja opisuje titranje dvodimenzijske
membrane
∂ 2 ψ
∂ t 2 = v 2 f ∇ 2 2D ψ.
Sada ćemo rješavati tu jednadžbu, ali ne u pravokutnoj geometriji kao u prethodnom odjeljku,
nego u cilindričkoj geometriji: pretpostavit ćemo da imamo kružnu homogenu membranu koja
je pobudena na titranje. Ispitivanjem svojstava tog titranja, upoznat ćemo se s novim i važnim
Besselovim 9 funkcijama koje se pojavljuju i u klasičnoj elektrodinamici i u kvantnoj mehanici.
Postavimo membranu u ravninu (x, y) sa središtem u ishodištu. Polumjer membrane označimo
s R, a otklon bilo koje točke membrane od ravnotežnog položaja ćemo opet označiti s ψ.
Zbog simetrije membrane, nećemo korisiti pravokutne, već polarne koordinate (ρ, ϕ). Laplaceov
operator u polarnim koordinatama je oblika
∇ 2 = ∂2
∂ ρ 2 + 1 ρ
U ovim oznakama, valna jednadžba glasi
1
v 2 f
∂
∂ ρ + 1 ρ 2 ∂ 2
∂ ϕ 2 .
∂ 2 ψ(ρ, ϕ, t)
= ∂2 ψ(ρ, ϕ, t)
+ 1 ∂ ψ(ρ, ϕ, t)
+ 1 ∂ 2 ψ(ρ, ϕ, t)
.
∂ t 2 ∂ ρ 2 ρ ∂ ρ ρ 2 ∂ ϕ 2
9 Friedrich Wilhelm Bessel, 1784. - 1846., njemački matematičar i astronom.