KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

400 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE
i uvrstiti ih u Lagrangeove jednadžbe
(
¨ρ 1 + 4 )
ρ 2 + 4 ( ) 2 g
ρ ˙ρ 2 + ρ − ˙ϕ 2 = 0, ρ 2 ˙ϕ = const.
a0
2 a0
2
a 0
To je sustav dvije jednadžbe za dvije nepoznate funkcije ρ = ρ(t) i ϕ = ϕ(t). Iz
druge jednadžbe možemo ˙ϕ izraziti preko ρ i uvrstiti u prvu. Tako konačno dobijemo
nelinearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda u kojoj se pojavljuje samo jedna
nepoznata funkcija ρ = ρ(t)
¨ρ
(
1 + 4
a 2
0
ρ 2 )
+ 4
a 2
0
ρ ˙ρ 2 + ρ
( 2 g
− const. )
2
= 0.
a 0 ρ 4
Isti zadatak možemo riješiti i tretirajući uvjet na gibanje ρ 2 − a 0 z = 0 kao neholonoman
(pretvaramo se da ga ne znamo riješiti). Sada imamo tri poopćene
koordinate: q 1 = ρ, q 2 = ϕ i q 3 = z i jedan neholonomni uvjet (M h = 0, M nh = 1),
pa postupamo na slijedeći način: najprije variramo uvjet i nalazimo konstante A iz
(14.18)
ρ 2 − a 0 z = 0 / δ
2 ρ δρ − a 0 δz ≡ A 1 δρ + A 2 δϕ + A 3 δz
⇒ A 1 = 2 ρ, A 2 = 0, A 3 = −a 0 .
Lagrangeova jednadžba za ovaj neholonomni konzervativni sustav glasi
( )
d ∂ L
− ∂ L = λ 1 A s , s = 1, 2, 3.
d t ∂ ˙q s ∂ q s
Lagrangeova funkcija je sada jednaka
E k − E p = L(ρ, ϕ, z, ˙ρ , ˙ϕ , ż ) = m 2 ( ˙ρ 2 + ρ 2 ˙ϕ 2 + ż 2 ) − m g z.
Nakon izračuna odgovarajućih parcijalnih derivacija Lagrangeove funkcije i njihovog
uvrštenja u Lagrangeove jednadžbe, dobije se slijedeći sustav četiri jednadžbe (tri
jednadžbe gibanja plus jedna jednadžba uvjeta) za četiri nepoznanice (ρ, ϕ, z i λ 1 )
m ¨ρ − m ρ ˙ϕ 2 = λ 1 2 ρ,
m d
d t (ρ 2 ˙ϕ ) = 0,
m ¨z + m g = −λ 1 a 0 ,
2 ρ ˙ρ − a 0 ż = 0.
Eliminacijom nepoznanica ϕ, z i λ 1 , opet dolazimo do iste jednadžbe za ρ
(
¨ρ 1 + 4 )
ρ 2 + 4 ( 2 g
ρ ˙ρ 2 + ρ − const. )
2
= 0
a0
2 a0
2
a 0 ρ 4
koju smo dobili rješavajući ovaj sustav kao holonoman.