KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

280 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
Slika 10.7: Uz primjer 10.4: dvostruka kosina bez trenja.
Lagrangeovo načelo glasi
2∑
0 = ⃗F v,j · δ⃗r j
=
j=1
[m 1 ⃗g δ⃗r 1 + F ⃗ nap,1 δ⃗r 1 + R ⃗ ]
1 δ⃗r 1 +
[m 2 ⃗g δ⃗r 2 + ⃗ F nap,2 δ⃗r 2 + ⃗ R 2 δ⃗r 2
]
.
Primjetimo da iznosi varijacija pomaka mogu biti i pozitivni i negativni
δr j ≶ 0.
Pogledajmo pojedine članove. Vektori ⃗ R j i δ⃗r j su medusobno okomiti, pa je njihov
skalarni umnožak jednak nuli. Sile napetosti ⃗ F nap,j su kolinearne s pomacima δ⃗r j , a
zbog izostanka trenja, one su i jednake po iznosu
⃗F nap,1 δ⃗r 1 + ⃗ F nap,2 δ⃗r 2 = F nap,1 δr 1 + F nap,2 δr 2 = F nap (δr 1 + δr 2 ).
Drugi uvjet na gibanje čestica je da su one povezane nerastezivom niti, tako da
vrijedi: r 1 + r 2 = l 0 , pa je i δr 1 + δr 2 = 0, tj. δr 1 = −δr 2 , Uvrsti li se to u gornji
jednadžbu, slijedi
F nap (δr 1 + δr 2 ) = 0.
Preostaje samo član s gravitacijskom silom
0 = m 1 ⃗g δ⃗r 1 + m 2 ⃗g δ⃗r 2
0 = m 1 g cos(π/2 + α 1 ) δr 1 + m 2 g cos(π/2 + α 2 ) δr 2
0 = m 1 g sin α 1 δr 1 + m 2 g sin α 2 δr 2 .
0 = (m 1 sin α 1 − m 2 sin α 2 ) g δr 1 = 0,
tj. dobivamo traženu relaciju
sin α 1
sin α 2
= m 2
m 1
. (10.33)