KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

68 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
ili, po komponentama
o ′ i j =
3∑
3∑
a i k o k l (a −1 ) l j =
3∑
3∑
a i k a j l o k l . (2.106)
k=1
l=1
k=1
l=1
Transformacijee gornjeg oblika se zovu transformacije sličnosti.
Lako je dvidjeti da transformacija sličnosti ne mijenja vrijednost determinante operatora
O ′ = A O A −1 / · A
O ′ A = A O
|O ′ | |A| = |A| |O|
|O ′ | = |O|.
2.10 Tenzori
U D-dimenzijskom prostoru, tenzorom n-tog reda ćemo nazivati veličinu sastavljenu od D n
komponenata,
T i1 i 2 ··· i n
, i p = 1, 2, · · · , D,
koja se u donosu na ortogonalnu transformaciju koordinatnog sustava (opisanu matricom A)
transformira kao
T ′
i 1 i 2 ··· i n
=
D∑
j 1 =1
D∑
j 2 =1
· · ·
D∑
j n=1
a i1 j 1
a i2 j 2
· · · a in j n
T j1 j 2 ··· j n
.
Povežimo gornju definiciju s nekima od veličina koje smo već upoznali:
• Prema gornjoj definiciji, tenzor nultog reda ima samo jednu komponentu, koja je samim time
i invarijantna na ortogonalnu transformaciju. Budući da su skalari invarijantni na ortogonalne
transformacije, to tenzor nultog reda nazivamo i skalarom.
• Ograničimo li se na D = 3-dimenzijski prostor, tenzor prvog reda se transformira kao
T ′
i =
3∑
j=1
a i j T j ,
što prepoznajemo kao transformaciju vektora (2.90), tj. tenzori prvog reda su vektori.
• Tenzor drugog reda u D = 3-dimenzijskom prostoru se transformira kao
T ′
i 1 i 2
=
3∑
j 1 =1
3∑
j 2 =1
a i1 j 1
a i2 j 2
T j1 j 2
.
Gornju relaciju prepoznajemo kao operaciju sličnosti (2.105) tj. (2.106). Dakle u odnosu na
ortogonalne transformacije, tenzori drugog reda su isto što i kvadratne matrice.