KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

296 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
uvršteno u jednadžbe gibanja daje
−ω 2 ψ(1, t) = 0 − 2K m ψ(1, t) + K ψ(2, t),
m
−ω 2 ψ(2, t) =
K
m ψ(1, t) − 2K m ψ(2, t) + K ψ(3, t),
m
−ω 2 ψ(3, t) =
K
m ψ(2, t) − 2K m ψ(3, t) + K ψ(4, t),
m
−ω 2 ψ(N − 1, t) =
−ω 2 ψ(N, t) =
.
K
m ψ(N − 2, t) − 2K m ψ(N − 1, t) + K ψ(N, t),
m
K
m ψ(N − 1, t) − 2K ψ(N, t) + 0 .
m
Gornji će sustav postati malo pregledniji, pomnožimo li ga s −m/K
−0 + 2 ψ(1, t) − ψ(2, t), = m ω2
K
−ψ(1, t) + 2 ψ(2, t) − ψ(3, t) = m ω2
K
−ψ(2, t) + 2 ψ(3, t) − ψ(4, t) = m ω2
K
−ψ(N − 2, t) + 2 ψ(N − 1, t) − ψ(N, t) = m ω2
K
−ψ(N − 1, t) + 2 ψ(N, t) − 0 = m ω2
K
ψ(1, t),
ψ(2, t),
ψ(3, t),
. (11.4)
ψ(N − 1, t),
ψ(N, t).
Nepoznanice su nam frekvencije kojima titraju čestice (sve titraju istom frekvencijom) i nepoznate
su nam amplitude titranja
ω = ?, ψ j = ?
Uvedemo li realnu simetričnu tridijagonalnu matricu medudjelovanja A i vektor položaja
svih N čestica Ψ ⃗
⎡
⎤
2 −1 0 0 · · · 0
⎡
⎤
ψ(1, t)
−1 2 −1 0 · · · 0
ψ(2, t)
0 −1 2 −1 · · · 0
A =
⎢ . . . . . .
, Ψ ⃗ = ⎢ .
⎥
⎥
⎣
⎣ 0 · · · 0 −1 2 −1 ⎦
ψ(N − 1, t) ⎦ ,
ψ(N, t)
0 · · · 0 0 −1 2
gornji sustav jednadžba prepoznajemo kao problem nalaženja svojstvenih vrijednosti i svojstvenih
vektora realne simetrične kvadratne matrice A
A Ψ ⃗ = m ω2
Ψ
K ⃗ ⇒
(A − m )
ω2
K 1 ⃗Ψ = 0,
(1 je jedinična matrica N-tog reda) koji je čitatelju poznat iz linearne algebre. Podsjetimo se,
ukratko, formulacije tog problema. Za zadanu matricu A treba naći vektor V ⃗ sa svojstvom