KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

320 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
Prema Pitagorinu poučku, duljina niti je približno jednaka
d s = √ √
( ) 2 ∂ ψ
(d x) 2 + (d ψ) 2 = d x 1 + ≃ d x + · · · .
∂ x
Sukladno aproksimacijama koje smo koristili u izvodu valne jednadžbe, i ovdje smo zanemarili
kvadratni član pod korjenom, tako da je d s ≃ d x, što vodi na izraz za kinetičku energiju
d E k = 1 ( ) 2 ∂ ψ
2 λ 0 d x .
∂ t
To je kinetička energija elementa niti približne duljine d x. Kinetičku energiju cijele niti se
dobiva tako da se gornji izraz prointegrira po cijeloj duljini niti
E k = λ ∫ L
( ) 2
0 ∂ ψ
d x. (11.30)
2 ∂ t
Za ψ koristimo (11.20)
ψ(x, t) =
∂ ψ
∂ t
=
( ) 2 ∂ ψ
=
∂ t
·
∞∑
n=1
∞∑
n=1
[ ∞
∑
n=1
[ ∞
∑
m=1
sin nπx
L
nπv f
L
nπv f
L
mπc
L
0
(
a n cos nπv ft
L
nπx
sin
L
nπx
sin
L
mπx
sin
L
+ b n sin nπv )
ft
L
(
−a n sin nπv ft
L
(
−a n sin nπv ft
L
+ b n cos nπv ft
L
)
+ b n cos nπv ft
L
) ]
(
−a m sin mπv ft
+ b m cos mπv ft
L
L
Uvrštavanjem gornjeg izraza u izraz za kinetičku energiju (11.30), dobiva se
E k = λ ∞∑ ∞∑
∫
0 nπv f mπv L
f
sin nπx mπx
sin
2
L L
n=1 m=1
0 L L
d x
(
· −a n sin nπv ft
L
+ b n cos nπv ) (
ft
−a m sin mπv ft
+ b m cos mπv )
ft
.
L
L
L
No, gornji integral po sinusima je različit od nule samo ako su indeksi n i m jednaki
∫ L
0
sin nπx
L
mπx
sin
L
d x = L 2 δ n,m,
što konačno daje za kinetičku energiju cijele niti
E k = λ 0π 2 vf
2 ∞∑
(
n 2 a n sin nπv ft
4L
L
− b n cos nπv ) 2
ft
.
L
n=1
Sjetimo li se da je v 2 f = F nap/λ 0 , kinetička se energija može napisati i kao
E k = π2 F nap
4L
∞∑
n=1
) ]
(
n 2 a n sin nπv ft
L
− b n cos nπv ) 2
ft
. (11.31)
L