KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

324 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
Slika 11.7: Mali deformirani dio membrane.
na slici 11.7.B s AB i DC, vodi na okomitu komponentu sile jednaku
[ (∂ ) ] 2
F y = F y dx dy ∂2 ψ ψ
∂ y + O 2 ∂ y
Sada možemo napisati jednadžbu gibanja kao
σ 0 ds x ds y
∂ 2 ψ(x, y, t)
∂ t 2
Duljine lukova ds x i ds y možemo izraziti kao
[ (∂
= F x dx dy ∂2 ψ
∂ x + F 2 y dx dy ∂2 ψ ψ
∂ y + O 2 ∂ x
ds x = √ (dx) 2 + (dψ) 2 , ds y = √ (dy) 2 + (dψ) 2
Ako cijelu jednadžbu podijelimo s dx dy, dolazi se do slijedeće jednadžbe
√ √
(dx)2 + (dψ)
σ 2 (dy)2 + (dψ) 2 ∂ 2 ψ(x, y, t) ∂ 2 ψ
0 = F
dx
dy
∂ t 2 x
∂ x + F 2 y
σ 0
√1 +
( )
√
2
∂ ψ
1 +
∂ x
( ) 2 ∂ ψ ∂ 2 ψ(x, y, t) ∂ 2 ψ
= F
∂ y ∂ t 2 x
∂ x + F 2 y
) 2
,
( ) ] 2 ∂ ψ
∂ y
[ (∂
∂ 2 ψ ψ
∂ y + O 2 ∂ x
) 2
,
[ (∂ )
∂ 2 2
ψ ψ
∂ y + O ,
2 ∂ x
( ) ] 2 ∂ ψ
∂ y
Zanemarimo li male članove srazmjerne kvadratu prve derivacije ψ po koordinatama, gornja
jednadžba postaje
∂ 2 ψ(x, y, t)
∂ t 2
= F x
σ 0
∂ 2 ψ
∂ x 2 + F y
σ 0
∂ 2 ψ
∂ y 2 .
Omjeri F/σ 0 su dimenzije kvadrata brzine, pa ćemo uvesti oznake
√ √
Fx
Fy
c x = , c y = .
σ 0 σ 0
( ) ] 2 ∂ ψ
.
∂ y