KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

398 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE
Lagrangeove jednadžbe se mogu napisati preko lagranžijana L = E k − E p (o jednoj važnoj
iznimci, kada potencijalna energija ovisi o brzini, bit će više riječi u odjeljku 14.6),
( )
d ∂ L
− ∂ L = λ 1 A s,1 + λ 2 A s,2 + · · · + λ Mnh A s,Mnh , s = 1, · · · , 3N − M h ,
d t ∂ ˙q s ∂ q s
3N−M
∑ h
s=1
A s,m ˙q s + B m = 0, m = 1, 2, · · · , M nh .
(14.20)
Ako to želimo, gornjim se postupkom mogu rješavati i holonomni sustavi, tako što će se
holonomne uvjete
f m (q s ; t) = 0,
derivirati po vremenu i napisati ih u obliku (14.20)
3N∑
s=1
∂ f m
˙q s + ∂ f m
∂ q s ∂ t
m = 1, 2, · · · , M h
= 0, m = 1, 2, · · · , M h ,
tj. nije potrebno rješavati jednadžbe uvjeta (iako su možda i rješive), već ih se može tretirati
pomoću Lagrangeovih množitelja.
Fizičko značenje Lagrangeovih množitelja vidimo iz relacije (14.20) na čijoj desnoj strani dimenzijski
mora biti nekakva sila, tj. izrazi oblika λ m A s,m predstavljaju popćene sile koje potječu
od uvjeta na gibanje.
Primjer: 14.8 Pod djelovanjem gravitacijske sile, čestica mase m se giba po unutarnjoj plohi
paraboloida x 2 + y 2 = a 0 z (za konstantni a 0 ), prikazanog na slici 14.3. Zanemarivši
trenje, izvedite Lagrangeove jednadžbe gibanja čestice, tretirajući uvjet na
gibanje kao: (a) holonoman, (b) neholonoman.
R: Zadatak ćemo riješiti u cilindričnom koordinatnom sustavu, gdje su tri poopćene
koordinate upravo cilindrične koordinate
q 1 = ρ = √ x 2 + y 2 , q 2 = ϕ = arctan y x , q 3 = z.
No, zbog postojanja uvjeta na gibanje po površini paraboloida, ove tri koordinate
nisu medusobno neovisne, već su povezane jednadžbom uvjeta
x 2 + y 2 = a 0 z ⇐⇒ ρ 2 = a 0 z.
To znači da je broj stupnjeva slobode S = 3 − 1 = 2. Gornji uvjet je holonoman
(M h = 1, M nh = 0) jer ga znamo riješiti, tj. jednu od koordinata lako možemo
napisti kao eksplicitnu funkciju ostalih koordinata
z = 1 a 0
ρ 2