Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 3 • section 11.3.0 • Page 100 de 396
Exercice Dans cette expression de ṙ, la seule quantité variable est la direction du vecteur u. Ainsi, l’hodographe du
mouvement (c’est-à-dire l’ensemble des points Q tels que, pour O fixé, on ait OQ = ṙ) est un cercle situé dans
le plan du mouvement (orthogonal à G, voir figure 1 ou EllipsHodogr.html) , de rayon égal à G/p (égal aussi
à µ/G), dont le centre, fixe, est placé dans la direction du vecteur v 0 (orthogonal à e) à la distance eG/p de
l’origine O. Notons que O est à l’intérieur de l’hodographe si le mouvement est elliptique, sur l’hodographe s’il
est parabolique et extérieur à lui s’il est hyperbolique (voir aussi HyperbHodogr.html). Dans tous les cas, lors
du passage au péricentre (w = 0 ou u = u 0 ), la vitesse passe par un maximum égal à (1 + e)G/p ; la vitesse
radiale est alors nulle et le vecteur vitesse est orthogonal au rayon vecteur. Dans le cas elliptique, l’hodographe
est parcouru entièrement et la vitesse passe par un minimum à l’apocentre, où elle vaut : (1 − e)G/p. Dans le cas
parabolique, la vitesse s’annulle lorsque u tend vers −e, c’est-à-dire lorsque r tend vers l’infini (w tendant alors
vers π). Enfin, dans le cas hyperbolique, les directions des tangentes à l’hodographe issues de O correspondent
aux asymptotes ; le point Q parcourt seulement l’arc d’hodographe compris entre ces tangentes et contenant le
point où la vitesse est maximum.
En élevant au carré la relation (3.14), on obtient une expression du carré de la vitesse comparable à celle que
l’on peut tirer de l’intégrale de l’énergie (3.6) ; de cette comparaison, on déduit que l’excentricité de la conique
peut être calculée à partir de G, de h et de µ par la relation suivante :
|e| = e = √ 1 + 2hG 2 /µ 2 = √ 1 + 2hp/µ = 1 + 2hq/µ (3.15)
Cela montre que finalement, si l’on calcule d’abord h par l’intégrale de l’énergie, le vecteur e de l’intégrale
de Laplace, déjà contraint à être orthogonal à G, doit en plus avoir son module e fixé par les constantes G et h ;
le seul arbitraire apporté par le vecteur e = e u 0 concerne alors la direction de u 0 , c’est-à-dire la direction du
péricentre dans le plan du mouvement. Inversement, si l’on calcule d’abord G et e, on peut en déduire l’intégrale
de l’énergie et h :
h = (e 2 − 1) µ2
2G 2 = (e2 − 1) µ 2p
(3.16)
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