Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 21.0.0 • Page 240 de 396
Dans le cas du frottement atmosphérique, en posant b = C D
2
A m , on a encore :
T = b ρ(r) ṙ 2 = b ρ(r) n2 a 2
1 − e 2 (1 + e2 + 2e cos w)
On trouve notamment que le demi-grand axe et l’excentricité diminuent ; l’orbite se circularise, prenant la forme
d’une spirale de rayon décroissant. On obtient ces caractéristiques globales du mouvement en examinant comment,
tour après tour, les éléments osculateurs évoluent en moyenne. Pour calculer des variations sur un tour, on
calcule le terme “constant” (indépendant de M) du développement en série de Fourier de M de chaque second
membre des équations (5.27). Cependant il peut être plus intéressant d’exprimer ces équations, non pas en fonction
du temps ou de M, mais en fonction de l’anomalie excentrique E : on fait alors le changement de variable :
n dt = a r dE et on exprime toutes les fonctions de r et de w en fonction de E grâce au formulaire du mouvement
képlérien. On peut alors développer en série de Fourier de E au lieu de M. Les équations donnant les variations
de l’apogée Q = a(1 + e) et du périgée q = a(1 − e), permettent d’analyser comment évoluent les altitudes du
périgée et de l’apogée. On obtient ainsi :
√
dq
1 + e cos E
dE = −2ba2 (1 − e)(1 − cos E)
1 − e cos E ρ(r)
√ (5.28)
dQ
1 + e cos E
dE = −2ba2 (1 + e)(1 + cos E)
1 − e cos E ρ(r)
où la masse volumique ρ(r) reste à modéliser ; un modèle simple consiste à prendre une loi de la forme : ρ(r) =
ρ 0 e −K(r−r 0) . On trouve notamment que tour après tour, les altitudes du périgée et de l’apogée diminuent mais
que cette diminution est moins forte pour le périgée que pour l’apogée.
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