Cours de Mécanique céleste classique

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En particulier, si F est nul (ce qui correspond à G indépendant de t), le changement de variables modifie l’expression
de l’hamiltonien mais pas sa valeur.
Or, en §3-12.2.2, on a appliqué une variante de la méthode d’Hamilton-Jacobi pour résoudre le problème de
Kepler, représenté par l’hamiltonien H suivant :
H = 1 ) (R 2 + G2
2 r 2 − µ r
exprimé en fonction des variables canoniques (r, ψ, ϑ, R, G, Θ). En cherchant un changement de variables canoniques
qui ne change pas la valeur h de l’hamiltonien, on a alors trouvé cette fonction G 2 (r, ψ, ϑ, h, G, Θ),
indépendante de t :
√
G 2 = ψG + ϑΘ + ε
∫ r
r 0 (h,G)
2h + 2µ r − G2
r 2 dr
Cette fonction engendre le jeu de variables canoniques : (t − t p , g, ϑ, h, G, Θ) et, dans ces variables, le nouvel
hamiltonien vaut H ′ (−, −, −, h, −, −) = h ; les équations d’Hamilton montrent que (t p , g, ϑ, h, G, Θ) sont alors
des constantes ; rappelons que, hormis t − t p et h, ces éléments canoniques sont ceux de Delaunay, avec des
notations propres aux variables canoniques mais qui s’interprètent en fonction des éléments d’orbite elliptique
classique : ϑ est la longitude du nœud ascendant, mesurée dans le plan Oi 0 j 0 à partir de l’axe Oi 0 , tandis que g
est l’argument du péricentre mesuré dans le plan orbital depuis ce nœud (ϑ ≡ Ω et g ≡ ω) ; leurs conjuguées
G et Θ (= G cos i) sont respectivement le module du moment cinétique et sa projection sur l’axe Ok 0 , avec i
inclinaison du plan orbital sur Oi 0 j 0 (cf. (3.75)).
Si maintenant on considère le problème képlérien perturbé défini par l’équation (5.1) où F = grad U, il lui
correspond l’intégrale première de l’énergie cinétique :
(
ṙ · ¨r + µ r
r 3 − ∂U )
= 0 = d ( 1 2ṙ2 − µ )
∂r dt r − U =⇒ 1 2ṙ2 − µ r − U = Cte
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