Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 6 • section 24.0.0 • Page 309 de 396
et l’on découvre encore aujourd’hui des propriétés nouvelles (orbites périodiques, résonances, régularisation des
collisions, chaos lié à la non-intégrabilité des équations, . . .).
Nous n’utiliserons pas ici le paramétrage de Jacobi, mais considérerons simplement les mouvements relatifs
de P 1 et de P 2 par rapport à P 0 ; en posant r k = P 0 P k , ces mouvements sont décrits par les équations (6.11),
particularisées ici au cas n = 2 :
d 2 r 1
dt 2 = −K(m 0 + m 1 ) r 1
|r 1 | 3 + Km 2
d 2 r 2
dt 2 = −K(m 0 + m 2 ) r 2
|r 2 | 3 + Km 1
(
r2 − r 1
|r 2 − r 1 | 3 − r )
2
|r 2 | 3
(
r1 − r 2
|r 1 − r 2 | 3 − r )
1
|r 1 | 3
(6.16)
(6.17)
Ces équations se simplifient un peu si, par exemple, la masse m 2 est négligeable par rapport à m 0 et à m 1 : En
annullant m 2 , le mouvement de P 1 devient képlérien et il ne reste à étudier que l’équation (6.17) ; c’est alors le
problème restreint des 3 corps (ou problème restreint circulaire si le mouvement de P 1 est circulaire). Pour le
moment, nous considérerons cependant que les 3 masses sont quelconques.
Rappelons encore que le choix de P 0 comme référence pour les mouvements de P 1 et P 2 est arbitraire : On
peut tout aussi bien choisir P 1 pour repérer le mouvement de P 2 ; pour cela, en soustrayant membre à membre
les équations (6.17) et (6.16), on obtient alors :
d 2
dt 2 (r 2 − r 1 ) = −K(m 1 + m 2 ) r 2 − r 1
|r 2 − r 1 | 3 + Km 0
(
r1
|r 1 | 3 − r 2
|r 2 | 3 )
(6.18)
Bien sûr, l’équation qui donne le mouvement de P 0 par rapport à P 1 n’est autre que (6.16) changée de signe.
Notons que dans tous les cas, chacune des équations (6.16) à (6.18) présente une partie képlérienne et une partie
non képlérienne, et que pour des masses m 0 , m 1 et m 2 données, il suffit de considérer 2 de ces 3 équations.
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