Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 2 • section 7.0.0 • Page 69 de 396
soit encore, d’après (2.8) : dp i
dt = −∂H ∂q i
On a donc finalement, à la place des n équations du second ordre que sont les équations de Lagrange, 2n
équations du premier ordre appelées équations canoniques ou équations d’Hamilton :
dq i
dt = ∂H
∂p i
;
dp i
dt = −∂H ∂q i
pour i = 1 · · · n (2.11)
Exercice où H(q 1 , · · · , q n , p 1 , · · · , p n , t) est la fonction d’Hamilton ou hamiltonien du système dynamique. Un système
dynamique régit par de telles équations (antisymétriques) est aussi appelé système hamiltonien.
Dans le cas des systèmes conservatifs, l’hamiltonien ne dépend pas du temps explicitement et représente
l’énergie totale du système. En effet, si ∂H
∂t = 0, la dérivée totale dH se réduit à :
dt
dH
n∑
( ∂H
dt = dq i
∂q i dt + ∂H )
dp i
∂p i dt
et cette quantité est nulle d’après (2.11) ; donc H est constant.
i=1
Par ailleurs, avec L = T + U où U ne dépend que des variables q i , les conjuguées p i valent
∂ ∂L =
˙q ∂T . Or
i ∂ ˙q i
l’énergie cinétique T étant une forme quadratique des variables de vitesse ˙q i , on a, d’après le théorème d’Euler
sur les formes homogènes : ∑ ∂T
i ˙q
∂ ˙q i = 2T . On en déduit :
i
H = ∑ i
p i ˙q i − L = ∑ i
∂T
∂ ˙q i
˙q i − T − U = T − U
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