Cours de Mécanique céleste classique

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Copyright ( c○ LDL) 2002, L. Duriez - Cours de Mécanique céleste • Partie 5 • section 22.1.3 • Page 278 de 396
22.1.3. Deuxième approximation
Disposant de la première approximation des solutions ∆x i , exprimées en (5.77) et (5.78), on les reporte dans
les développements des équations initiales (5.72) et (5.73). On obtient des expressions de la forme :
d¯x 1
dt + d∆x ( ∑
)
1
= ε ¯n P 1k (¯x 1 ) sin(k · ¯x 2 ) +
dt
k
[ ∑ ∑
+ ε 2 ¯n
(k ′ · n
k k ′ x2 ) P(1) kk
(¯x ′ 1 ) sin(k · ¯x 2 ) cos(k ′ · ¯x 2 ) +
(5.92)
+ ∑ ∑ ¯n
]
(k ′ · n x2 ) P(2) kk
(¯x ′ 1 ) cos(k · ¯x 2 ) sin(k ′ · ¯x 2 ) + · · ·
k
d¯x 2
dt + d∆x 2
dt
(
=¯n + ∆n + ε ¯n S(¯x 1 ) + ∑ k
+ ε 2 [ ∑
k ′
+ ∑ k
+ ∑ k
k ′
)
¯n P 2k (¯x 1 ) cos(k · ¯x 2 ) +
¯n
(k ′ · n x2 ) P(3) k ′ (¯x 1 ) cos(k ′ · ¯x 2 ) +
∑
k ′
∑
k ′
¯n
(k ′ · n x2 ) P(4) kk
(¯x ′ 1 ) cos(k · ¯x 2 ) cos(k ′ · ¯x 2 ) +
¯n
]
(k ′ · n x2 ) P(5) kk
(¯x ′ 1 ) sin(k · ¯x 2 ) sin(k ′ · ¯x 2 ) + · · ·
(5.93)
Les points de suspension représentent des termes de l’ordre de ε 3 au moins, issus des termes non explicités du
développement de Taylor initial. Rappelons que dans ces sommations, les triplets k et k ′ sont différents de zéro.
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